Add presentation slides for OU process and Mehler formula

research/math/podcast2/build_video2.py

@@ -0,0 +1,114 @@
+#!/usr/bin/env python3
+"""把 OU/Mehler 幻灯片 + 已有播客音频合成为 MP4（复用第一篇流程）。
+
+流程：读已有音频时长 → 按每句字符占比分配到 12 页 → Chrome 截 12 页 → ffmpeg 合成。
+用法：python3 build_video2.py
+"""
+import json
+import os
+import subprocess
+import sys
+
+HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
+SCRIPT_JSON = os.path.join(HERE, "ou_mehler-script.json")
+SLIDE_HTML = os.path.join(HERE, "slides", "OU 过程与 Mehler 公式.html")
+OUT_DIR = os.path.join(HERE, "output")
+SHOT_DIR = os.path.join(OUT_DIR, "shots")
+AUDIO_IN = os.path.join(OUT_DIR, "ou_mehler-podcast.mp3")
+VIDEO_OUT = os.path.join(OUT_DIR, "ou_mehler-video.mp4")
+CHROME = "/Applications/Google Chrome.app/Contents/MacOS/Google Chrome"
+
+NUM_PAGES = 12
+# 句(1-based) -> 页(1-based)。共 44 句、12 页。
+# 1 封面 / 2 核心问题 / 3 OU直觉 / 4 离散定义 / 5 三性质 / 6 Mehler / 7 核心推论
+# 8 数值例子 / 9 对齐损失 / 10 衰减图 / 11 小结 / 12 尾页
+LINE_TO_PAGE = {
+    1: 1, 2: 1,                          # 封面
+    3: 2,                                # 核心问题
+    4: 3, 5: 3, 6: 3,                    # OU 物理直觉
+    7: 4, 8: 4, 9: 4,                    # 离散定义
+    10: 5, 11: 5, 12: 5, 13: 5, 14: 5, 15: 5,  # 三性质
+    16: 6, 17: 6, 18: 6, 19: 6, 20: 6,   # Mehler 公式
+    21: 7, 22: 7, 23: 7,                 # 核心推论
+    24: 8, 25: 8, 26: 8, 27: 8, 28: 8, 29: 8,  # 数值例子
+    30: 9, 31: 9, 32: 9, 33: 9, 34: 9,   # 对齐损失
+    35: 10, 36: 10,                      # 衰减图示
+    37: 11, 38: 11, 39: 11, 40: 11, 41: 11,    # 小结
+    42: 12, 43: 12, 44: 12,              # 尾页
+}
+
+
+def run(cmd):
+    subprocess.run(cmd, check=True, stdout=subprocess.DEVNULL, stderr=subprocess.DEVNULL)
+
+
+def ffprobe_dur(path):
+    out = subprocess.check_output(
+        ["ffprobe", "-v", "error", "-show_entries", "format=duration",
+         "-of", "default=noprint_wrappers=1:nokey=1", path])
+    return float(out.strip())
+
+
+def step1_page_durations():
+    total = ffprobe_dur(AUDIO_IN)
+    lines = json.load(open(SCRIPT_JSON, encoding="utf-8"))["lines"]
+    page_chars = {p: 0 for p in range(1, NUM_PAGES + 1)}
+    for i, line in enumerate(lines, 1):
+        page_chars[LINE_TO_PAGE.get(i, NUM_PAGES)] += len(line["paragraph"].strip())
+    grand = sum(page_chars.values())
+    page_dur = {p: total * page_chars[p] / grand for p in page_chars}
+    page_dur[NUM_PAGES] += (total - sum(page_dur.values()))
+    print(f"音频总时长 {total:.2f}s，分配到 {NUM_PAGES} 页：")
+    for p in range(1, NUM_PAGES + 1):
+        print(f"  page {p:>2}: {page_dur[p]:6.2f}s  ({page_chars[p]} 字)")
+    return page_dur
+
+
+def step2_screenshots():
+    os.makedirs(SHOT_DIR, exist_ok=True)
+    file_url = "file://" + SLIDE_HTML.replace(" ", "%20")
+    for p in range(1, NUM_PAGES + 1):
+        out = os.path.join(SHOT_DIR, f"page_{p:02d}.png")
+        run([CHROME, "--headless=new", "--disable-gpu", "--hide-scrollbars",
+             "--force-device-scale-factor=1", "--window-size=1920,1080",
+             f"--screenshot={out}", "--virtual-time-budget=2800",
+             f"{file_url}?page={p}&clean=1"])
+        if not os.path.exists(out):
+            raise RuntimeError(f"截图失败 page {p}")
+        print(f"截图 page {p:02d} ✓")
+
+
+def step3_video(page_dur):
+    tmp_list = os.path.join(SHOT_DIR, "vlist.txt")
+    with open(tmp_list, "w") as lf:
+        for p in range(1, NUM_PAGES + 1):
+            img = os.path.join(SHOT_DIR, f"page_{p:02d}.png")
+            dur = max(page_dur[p], 0.8)
+            vid = os.path.join(SHOT_DIR, f"v_{p:02d}.mp4")
+            run(["ffmpeg", "-y", "-loop", "1", "-i", img, "-t", f"{dur:.3f}",
+                 "-r", "30", "-pix_fmt", "yuv420p",
+                 "-vf", "scale=1920:1080:force_original_aspect_ratio=decrease,"
+                        "pad=1920:1080:(ow-iw)/2:(oh-ih)/2",
+                 "-c:v", "libx264", "-preset", "medium", "-crf", "20", vid])
+            lf.write(f"file '{vid}'\n")
+            print(f"页视频 {p:02d}  {dur:.2f}s ✓")
+    silent = os.path.join(SHOT_DIR, "silent.mp4")
+    run(["ffmpeg", "-y", "-f", "concat", "-safe", "0", "-i", tmp_list, "-c", "copy", silent])
+    run(["ffmpeg", "-y", "-i", silent, "-i", AUDIO_IN,
+         "-c:v", "copy", "-c:a", "aac", "-b:a", "192k", "-shortest", VIDEO_OUT])
+    print(f"\n✅ 视频已输出：{VIDEO_OUT}  ({ffprobe_dur(VIDEO_OUT):.1f}s)")
+
+
+def main():
+    if not os.path.exists(AUDIO_IN):
+        print(f"ERROR: 找不到音频 {AUDIO_IN}", file=sys.stderr); sys.exit(1)
+    print("=== 步骤 1/3：分配每页时长 ===")
+    page_dur = step1_page_durations()
+    print("\n=== 步骤 2/3：截取 12 页 ===")
+    step2_screenshots()
+    print("\n=== 步骤 3/3：ffmpeg 合成 ===")
+    step3_video(page_dur)
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()

research/math/podcast2/ou_mehler-script.json

@@ -0,0 +1,50 @@
+{
+  "title": "OU 过程与 Mehler 公式：为什么高阶成分被罚得更狠",
+  "locale": "zh",
+  "lines": [
+    {"speaker": "male", "paragraph": "Hello Deer！欢迎回来。上一期我们聊了 Hermite 多项式，留了个尾巴——相关性为什么会按阶数指数衰减。今天就来把这个坑填上。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "对，上次最后那个悬念我一直惦记着。今天的主角是两个名字，OU 过程和 Mehler 公式。先说说，它们是用来干嘛的？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "LeJEPA 训练时需要正样本对，也就是同一个内容的两个视角。问题是：这两个视角是怎么造出来的？为什么这种造法会让高阶的非线性成分被惩罚得更重？"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "造正样本对的办法，就是 OU 过程，全名奥恩斯坦-乌伦贝克过程。这名字有点吓人，但物理图像其实很可爱对吧？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "非常可爱。你就想象一个小球，被一根弹簧拴在原点。弹簧一直想把它拉回中心，这叫均值回归；同时周围有随机的小扰动在推它，像布朗运动。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "所以小球既被往回拉、又被随机推。这一拉一推的拉扯，就是 OU 过程。那它在 LeJEPA 里具体长什么样？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "论文用的是离散版本，一步到位：新的视角 z 撇，等于 ρ 乘以原来的 z，再加上根号下一减 ρ 平方，乘一个全新的高斯噪声。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "这里的 ρ 是关键，介于零和一之间。它就是上一期我们叫的相关强度，对吧？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "正是。ρ 越接近一，新视角就越像原来的；ρ 越接近零，两个视角就越不相关。实践里一般取零点八到零点九五之间。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "明白。那这个造法有几个很妙的性质，我们一个个说。第一个是平稳性？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "对。如果原来的 z 服从标准高斯，那么造出来的 z 撇也服从同一个标准高斯。算一下就知道：均值还是零，方差还是一，因为 ρ 平方加上一减 ρ 平方正好等于一。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "漂亮，造完之后分布纹丝不动。这意味着两个视角是平起平坐的，没有谁更特殊。第二个性质呢？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "第二个是相关性可控。两个视角的协方差正好等于 ρ。所以 ρ 就像一个旋钮，你拧大它两个视角就更像，拧小就更不像，完全在你掌控之中。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "一个旋钮控制相似度，这设计真干净。第三个性质？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "第三个叫加性噪声。整个转移可以拆成两块：一块是线性漂移 ρ 乘 z，另一块是独立的噪声。干净的线性加噪声结构，正好满足论文要的假设。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "好，三个性质都很温和。那真正的硬核来了——Mehler 公式。它到底说了什么？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "Mehler 公式是 OU 过程的谱定理。一句话说：它把 OU 过程的转移规律，在 Hermite 这套积木的基底下展开了，而且每一阶积木前面的系数，正好是 ρ 的那一阶次方。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "等等，让我抓住重点：d 阶的 Hermite 成分，前面挂的系数是 ρ 的 d 次方？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "完全正确。这就是全部魔法的来源。把它用到编码器的某个分量上，就得到一个特别干净的式子：两个视角在这个分量上的相关性，等于各阶谱权重乘以 ρ 的对应次方，再全部加起来。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "谱权重我们上期讲过，就是那张能量饼图里每一阶占的比例。那现在把这个和数跟 ρ 比一比，会怎样？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "这就是核心推论。因为每一项里 ρ 的 d 次方都小于等于 ρ 本身——d 至少是一嘛——所以整个加权和一定小于等于 ρ。而所有权重加起来是一，所以上界恰好就是 ρ。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "所以相关性最多就是 ρ，封顶了。那什么时候能正好取到这个上限？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "只有一种情况：全部权重都压在一阶上，也就是编码器是纯线性的。只要有任何一个二阶或更高阶的权重大于零，那一项就会严格变小，整个和就够不到 ρ 了。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "所以等号成立，当且仅当纯线性。这个当且仅当太关键了。我们来点具体数字找找感觉？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "好。取 ρ 等于零点九。纯线性编码器，相关性就是零点九的一次方，等于零点九，完美顶到上限。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "纯二次的呢？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "纯二次，相关性是零点九的平方，等于零点八一，已经掉了零点零九。纯三次是零点九的三次方，约零点七三，掉得更多。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "那要是一半线性、一半二次的混合呢？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "混合的就是两者加权平均，零点五乘零点九加零点五乘零点八一，约等于零点八五五。介于两者之间，但仍然够不到零点九。结论很清楚：非线性成分越多，相关性越低。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "数字一摆，趋势一目了然。那这跟 LeJEPA 真正要优化的目标，是怎么挂上钩的？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "LeJEPA 的对齐损失，本质是让两个视角的表示尽量接近，写开之后就等于一个常数减去所有分量相关性的总和。所以最小化损失，就等价于最大化相关性总和。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "而我们刚证明了每个相关性最多是 ρ……"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "对，所以对齐损失有一个下界，正比于一减 ρ。而这个最好的下界，当且仅当每一个编码器分量都是线性的时候才能达到。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "于是结论就水落石出了：最优编码器必须是线性的。这正是定理一的心脏。"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "一点没错。我们再用一张画面感的图收一下尾：ρ 等于零点九时，一阶零点九、二阶零点八一、三阶零点七三、四阶零点六六、五阶零点五九，像一排越来越短的条。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "非线性成分的相关性随阶数指数往下掉，越高阶越吃亏。这画面我记住了。我们把今天五个要点串一下？"},
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+    {"speaker": "female", "paragraph": "第二，平稳性保证两个视角分布相同；相关性恰好是 ρ；结构是线性漂移加独立噪声。"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "第三，Mehler 公式说，d 阶 Hermite 成分的相关性是 ρ 的 d 次方。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "第四，核心不等式：相关性等于各阶权重乘 ρ 的对应次方之和，最多到 ρ，等号当且仅当纯线性。"},
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+    {"speaker": "female", "paragraph": "完美闭环。下一站去哪？"},
+    {"speaker": "male", "paragraph": "下一讲我们把 Hermite 展开和今天的 OU 衰减正式拼起来，组装成定理一的完整证明，叫谱分解与线性可识别性。"},
+    {"speaker": "female", "paragraph": "好，那我们下期见。谢谢大家收听，记得，弹簧拉小球，ρ 拧大小——我们下次接着拆。拜拜！"}
+  ]
+}

research/math/podcast2/ou_mehler-transcript.md

@@ -0,0 +1,95 @@
+# OU 过程与 Mehler 公式：为什么高阶成分被罚得更狠（播客文字稿）
+
+> 来源文档：[`JEPA/math/02_ou_process_mehler.md`](../../../JEPA/math/02_ou_process_mehler.md)
+> 形式：双主播（男 / 女）对话讲解，约 8 分钟
+> 配套脚本：[`ou_mehler-script.json`](ou_mehler-script.json)
+
+---
+
+**男主播：** Hello Deer！欢迎回来。上一期我们聊了 Hermite 多项式，留了个尾巴——相关性为什么会按阶数指数衰减。今天就来把这个坑填上。
+
+**女主播：** 对，上次最后那个悬念我一直惦记着。今天的主角是两个名字，OU 过程和 Mehler 公式。先说说，它们是用来干嘛的？
+
+**男主播：** LeJEPA 训练时需要正样本对，也就是同一个内容的两个视角。问题是：这两个视角是怎么造出来的？为什么这种造法会让高阶的非线性成分被惩罚得更重？
+
+**女主播：** 造正样本对的办法，就是 OU 过程，全名奥恩斯坦-乌伦贝克过程。这名字有点吓人，但物理图像其实很可爱对吧？
+
+**男主播：** 非常可爱。你就想象一个小球，被一根弹簧拴在原点。弹簧一直想把它拉回中心，这叫均值回归；同时周围有随机的小扰动在推它，像布朗运动。
+
+**女主播：** 所以小球既被往回拉、又被随机推。这一拉一推的拉扯，就是 OU 过程。那它在 LeJEPA 里具体长什么样？
+
+**男主播：** 论文用的是离散版本，一步到位：新的视角 z 撇，等于 ρ 乘以原来的 z，再加上根号下一减 ρ 平方，乘一个全新的高斯噪声。
+
+**女主播：** 这里的 ρ 是关键，介于零和一之间。它就是上一期我们叫的相关强度，对吧？
+
+**男主播：** 正是。ρ 越接近一，新视角就越像原来的；ρ 越接近零，两个视角就越不相关。实践里一般取零点八到零点九五之间。
+
+**女主播：** 明白。那这个造法有几个很妙的性质，我们一个个说。第一个是平稳性？
+
+**男主播：** 对。如果原来的 z 服从标准高斯，那么造出来的 z 撇也服从同一个标准高斯。算一下就知道：均值还是零，方差还是一，因为 ρ 平方加上一减 ρ 平方正好等于一。
+
+**女主播：** 漂亮，造完之后分布纹丝不动。这意味着两个视角是平起平坐的，没有谁更特殊。第二个性质呢？
+
+**男主播：** 第二个是相关性可控。两个视角的协方差正好等于 ρ。所以 ρ 就像一个旋钮，你拧大它两个视角就更像，拧小就更不像，完全在你掌控之中。
+
+**女主播：** 一个旋钮控制相似度，这设计真干净。第三个性质？
+
+**男主播：** 第三个叫加性噪声。整个转移可以拆成两块：一块是线性漂移 ρ 乘 z，另一块是独立的噪声。干净的线性加噪声结构，正好满足论文要的假设。
+
+**女主播：** 好，三个性质都很温和。那真正的硬核来了——Mehler 公式。它到底说了什么？
+
+**男主播：** Mehler 公式是 OU 过程的谱定理。一句话说：它把 OU 过程的转移规律，在 Hermite 这套积木的基底下展开了，而且每一阶积木前面的系数，正好是 ρ 的那一阶次方。
+
+**女主播：** 等等，让我抓住重点：d 阶的 Hermite 成分，前面挂的系数是 ρ 的 d 次方？
+
+**男主播：** 完全正确。这就是全部魔法的来源。把它用到编码器的某个分量上，就得到一个特别干净的式子：两个视角在这个分量上的相关性，等于各阶谱权重乘以 ρ 的对应次方，再全部加起来。
+
+**女主播：** 谱权重我们上期讲过，就是那张能量饼图里每一阶占的比例。那现在把这个和数跟 ρ 比一比，会怎样？
+
+**男主播：** 这就是核心推论。因为每一项里 ρ 的 d 次方都小于等于 ρ 本身——d 至少是一嘛——所以整个加权和一定小于等于 ρ。而所有权重加起来是一，所以上界恰好就是 ρ。
+
+**女主播：** 所以相关性最多就是 ρ，封顶了。那什么时候能正好取到这个上限？
+
+**男主播：** 只有一种情况：全部权重都压在一阶上，也就是编码器是纯线性的。只要有任何一个二阶或更高阶的权重大于零，那一项就会严格变小，整个和就够不到 ρ 了。
+
+**女主播：** 所以等号成立，当且仅当纯线性。这个当且仅当太关键了。我们来点具体数字找找感觉？
+
+**男主播：** 好。取 ρ 等于零点九。纯线性编码器，相关性就是零点九的一次方，等于零点九，完美顶到上限。
+
+**女主播：** 纯二次的呢？
+
+**男主播：** 纯二次，相关性是零点九的平方，等于零点八一，已经掉了零点零九。纯三次是零点九的三次方，约零点七三，掉得更多。
+
+**女主播：** 那要是一半线性、一半二次的混合呢？
+
+**男主播：** 混合的就是两者加权平均，零点五乘零点九加零点五乘零点八一，约等于零点八五五。介于两者之间，但仍然够不到零点九。结论很清楚：非线性成分越多，相关性越低。
+
+**女主播：** 数字一摆，趋势一目了然。那这跟 LeJEPA 真正要优化的目标，是怎么挂上钩的？
+
+**男主播：** LeJEPA 的对齐损失，本质是让两个视角的表示尽量接近，写开之后就等于一个常数减去所有分量相关性的总和。所以最小化损失，就等价于最大化相关性总和。
+
+**女主播：** 而我们刚证明了每个相关性最多是 ρ……
+
+**男主播：** 对，所以对齐损失有一个下界，正比于一减 ρ。而这个最好的下界，当且仅当每一个编码器分量都是线性的时候才能达到。
+
+**女主播：** 于是结论就水落石出了：最优编码器必须是线性的。这正是定理一的心脏。
+
+**男主播：** 一点没错。我们再用一张画面感的图收一下尾：ρ 等于零点九时，一阶零点九、二阶零点八一、三阶零点七三、四阶零点六六、五阶零点五九，像一排越来越短的条。
+
+**女主播：** 非线性成分的相关性随阶数指数往下掉，越高阶越吃亏。这画面我记住了。我们把今天五个要点串一下？
+
+**男主播：** 第一，OU 过程用一拉一推的方式造正样本对，相似度由 ρ 这个旋钮控制。
+
+**女主播：** 第二，平稳性保证两个视角分布相同；相关性恰好是 ρ；结构是线性漂移加独立噪声。
+
+**男主播：** 第三，Mehler 公式说，d 阶 Hermite 成分的相关性是 ρ 的 d 次方。
+
+**女主播：** 第四，核心不等式：相关性等于各阶权重乘 ρ 的对应次方之和，最多到 ρ，等号当且仅当纯线性。
+
+**男主播：** 第五，因此最小化对齐损失就是最大化相关性，逼着编码器学成线性——这就是定理一。
+
+**女主播：** 完美闭环。下一站去哪？
+
+**男主播：** 下一讲我们把 Hermite 展开和今天的 OU 衰减正式拼起来，组装成定理一的完整证明，叫谱分解与线性可识别性。
+
+**女主播：** 好，那我们下期见。谢谢大家收听，记得，弹簧拉小球，ρ 拧大小——我们下次接着拆。拜拜！

research/math/podcast2/slides/OU 过程与 Mehler 公式.html

@@ -0,0 +1,357 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="zh">
+<head>
+<meta charset="UTF-8">
+<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+<title>OU 过程与 Mehler 公式 · 为什么高阶成分被罚得更狠</title>
+
+<!-- 设计系统沿用「深空学术 Deep Space」：暗青径向底 + 青绿 #2ec4b6 / 琥珀 #ffb703 -->
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+</style>
+</head>
+<body>
+<div class="hintkey">← → 翻页 · F 全屏</div>
+<div id="wrap"><div class="stage" id="stage">
+
+  <!-- 1 封面 -->
+  <section class="slide active cover">
+    <div class="glow"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>SELF-SUPERVISED · 谱分解 · EP.02</div>
+    <h1 style="margin-top:34px;">OU 过程<br>与 <em>Mehler 公式</em></h1>
+    <p class="lead" style="margin-top:38px;">正样本对怎么造？为什么高阶非线性成分被罚得更狠？</p>
+    <div class="meta">配套播客 · 双主播对话 · 上接 Hermite 多项式，下启线性可识别性</div>
+  </section>
+
+  <!-- 2 核心问题 -->
+  <section class="slide posBL">
+    <div class="glow amber"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>00 · 核心问题</div>
+    <h2>正样本对从<em>哪里来</em>？</h2>
+    <div class="content">
+      <ul class="pts">
+        <li>LeJEPA 训练需要「正样本对」——同一内容的两个视角 $(z, z')$。</li>
+        <li>这对视角是<b>怎么生成</b>的？答案是 <b>OU 过程</b>。</li>
+        <li>为什么这种生成方式，会让<b>高阶 Hermite 成分被更强地惩罚</b>？</li>
+        <li>解开它的钥匙，是 <b>Mehler 公式</b>。</li>
+      </ul>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 3 OU 物理直觉 -->
+  <section class="slide">
+    <div class="glow"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>01 · 物理直觉</div>
+    <h2>弹簧上的<em>小球</em></h2>
+    <div class="content" style="gap:60px;">
+      <div class="card" style="flex:1;">
+        <div class="ct">弹簧力 · 均值回归</div>
+        <div class="cb">把小球持续拉回原点，不让它跑远。</div>
+      </div>
+      <div class="card" style="flex:1;">
+        <div class="ct">随机扰动 · 布朗噪声</div>
+        <div class="cb">周围的随机推搡，让小球抖动。</div>
+      </div>
+      <div class="card" style="flex:1;">
+        <div class="ct">一拉一推 = OU 过程</div>
+        <div class="cb">两股力量的拉扯，正是 Ornstein–Uhlenbeck 过程的图像。</div>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 4 离散 OU 定义 -->
+  <section class="slide posCR">
+    <div class="glow"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>02 · 定义</div>
+    <h2>LeJEPA 用的<em>离散一步转移</em></h2>
+    <div class="content" style="gap:60px;">
+      <div class="fbox" style="flex:1.1;font-size:42px;">
+        $z' = \rho\,z + \sqrt{1-\rho^{2}}\;\eta$
+        <div class="small">$\eta\sim\mathcal N(0,I),\quad \rho\in(0,1)$</div>
+      </div>
+      <div style="flex:1;">
+        <p class="lead" style="font-size:30px;">$\rho$ 是<b style="color:var(--teal)">相关系数</b>——两个视角的相似度旋钮。</p>
+        <p class="lead" style="font-size:28px;margin-top:18px;">$\rho\to1$：几乎相同视角；$\rho\to0$：相互独立。实践取 $\rho\in[0.8,0.95]$。</p>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 5 三性质 -->
+  <section class="slide">
+    <div class="glow amber"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>03 · 三个性质</div>
+    <h2>OU 过程的<em>三块基石</em></h2>
+    <div class="content">
+      <div class="cards">
+        <div class="card"><div class="ct">① 平稳性</div><div class="cb">$z\sim\mathcal N(0,I)\Rightarrow z'\sim\mathcal N(0,I)$<br>均值 0、方差 $\rho^2+(1-\rho^2)=1$。两视角分布相同。</div></div>
+        <div class="card"><div class="ct">② 相关可控</div><div class="cb">$\mathrm{Cov}(z',z)=\rho\,I$<br>$\rho$ 直接 = 相似度，一个旋钮说了算。</div></div>
+        <div class="card"><div class="ct">③ 加性噪声</div><div class="cb">$z'=\rho z+\eta$：线性漂移 + 独立噪声。<br>满足论文的加性噪声假设。</div></div>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 6 Mehler 公式 -->
+  <section class="slide posBL">
+    <div class="glow"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>04 · 谱定理</div>
+    <h2>Mehler 公式：<em>每阶挂 ρᵈ</em></h2>
+    <div class="content" style="gap:56px;">
+      <div class="fbox" style="flex:1.15;font-size:30px;">
+        $p(z'\mid z)=\varphi(z')\displaystyle\sum_{d=0}^{\infty}\rho^{d}\,\frac{He_d(z)He_d(z')}{d!}$
+        <div class="small">OU 转移核在 Hermite 基下展开</div>
+      </div>
+      <div style="flex:1;">
+        <div class="fbox" style="font-size:30px;">
+          $\mathbb{E}[h_i(z)\,h_i(z')]=\displaystyle\sum_{d=0}^{\infty}\rho^{d}\,w_d$
+          <div class="small">$w_d$＝第 $i$ 分量在 $d$ 阶上的谱权重</div>
+        </div>
+        <p class="lead" style="font-size:26px;margin-top:22px;">关键：<b style="color:var(--amber)">d 阶成分的系数 = ρ 的 d 次方</b>。</p>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 7 核心推论 -->
+  <section class="slide posCR">
+    <div class="glow amber"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>05 · 核心推论</div>
+    <h2>相关性<em>封顶在 ρ</em></h2>
+    <div class="content" style="gap:56px;">
+      <div class="fbox" style="flex:1.1;font-size:28px;line-height:2;">
+        $\mathrm{corr}_i=\displaystyle\sum_{d\ge1}w_d\,\rho^{d}\le\sum_{d\ge1}w_d\,\rho=\rho$
+        <div class="small">因为 $\rho^d\le\rho\ (d\ge1)$，且 $\sum w_d=1$</div>
+      </div>
+      <div style="flex:1;">
+        <p class="lead" style="font-size:30px;">等号成立 <b style="color:var(--teal)">当且仅当 $w_1=1$</b>——编码器纯线性。</p>
+        <p class="lead" style="font-size:27px;margin-top:18px;">只要有任何 $w_{d_0}>0\ (d_0\ge2)$，那一项就严格变小，和够不到 $\rho$。</p>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 8 数值例子 -->
+  <section class="slide">
+    <div class="glow"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>06 · 数值例子</div>
+    <h2>取 <em>ρ = 0.9</em> 算给你看</h2>
+    <div class="content">
+      <table class="cmp">
+        <tr><th>编码器</th><th>谱权重</th><th>相关性 corrᵢ</th><th>与 0.9 的差距</th></tr>
+        <tr><td class="k">纯线性 $h=z$</td><td><span class="hl">$w_1=1$</span></td><td><span class="hl">$0.9^1=0.900$</span></td><td>0 ｜ 最优</td></tr>
+        <tr><td class="k">纯二次 $h=z^2-1$</td><td>$w_2=1$</td><td><span class="am">$0.9^2=0.810$</span></td><td>−0.090</td></tr>
+        <tr><td class="k">纯三次 $h=z^3-3z$</td><td>$w_3=1$</td><td><span class="am">$0.9^3=0.729$</span></td><td>−0.171</td></tr>
+        <tr><td class="k">混合 各半</td><td>$w_1=w_2=0.5$</td><td>$0.855$</td><td>−0.045</td></tr>
+      </table>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 9 与对齐损失 -->
+  <section class="slide posBL">
+    <div class="glow amber"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>07 · 训练联系</div>
+    <h2>对齐损失的<em>下界</em></h2>
+    <div class="content" style="gap:56px;">
+      <div class="fbox" style="flex:1.05;font-size:28px;line-height:1.9;">
+        $\mathcal L_{\text{align}}=\mathbb{E}\|h(z')-h(z)\|^2$<br>
+        $=2n-2\sum_i \mathrm{corr}_i\;\ge\;2(1-\rho)\,n$
+        <div class="small">最小化损失 ⟺ 最大化相关性之和</div>
+      </div>
+      <div style="flex:1;">
+        <p class="lead" style="font-size:31px;">等号成立 <b style="color:var(--teal)">当且仅当每个 $h_i$ 都是线性的</b>。</p>
+        <p class="lead" style="font-size:28px;margin-top:18px;">这就是定理一的心脏：<b style="color:var(--amber)">最优编码器必须线性</b>。</p>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 10 衰减图示 -->
+  <section class="slide posCR">
+    <div class="glow"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>08 · 直觉图示</div>
+    <h2>ρ = 0.9 时<em>逐阶衰减</em></h2>
+    <div class="content">
+      <div style="width:100%;">
+        <div class="barrow"><span class="chip">d=1 线性</span><div class="track"><i style="width:90%"></i></div><span class="val">ρ¹ = 0.900</span></div>
+        <div class="barrow"><span class="chip">d=2 二次</span><div class="track"><i style="width:81%"></i></div><span class="val">ρ² = 0.810</span></div>
+        <div class="barrow"><span class="chip">d=3 三次</span><div class="track"><i style="width:72.9%"></i></div><span class="val">ρ³ = 0.729</span></div>
+        <div class="barrow"><span class="chip">d=4 四次</span><div class="track"><i style="width:65.6%"></i></div><span class="val">ρ⁴ = 0.656</span></div>
+        <div class="barrow"><span class="chip">d=5 五次</span><div class="track"><i style="width:59%"></i></div><span class="val">ρ⁵ = 0.590</span></div>
+        <p class="lead" style="font-size:27px;margin-top:20px;">非线性成分的相关性随阶数<b style="color:var(--amber)">指数衰减</b>——越高阶越吃亏。</p>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 11 小结 -->
+  <section class="slide">
+    <div class="glow amber"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>09 · 小结</div>
+    <h2>五句话<em>带走全场</em></h2>
+    <div class="content">
+      <div class="grid4">
+        <div class="g"><div class="n">01</div><div class="t">OU 过程「一拉一推」造正样本对，相似度由 <b>ρ</b> 控制。</div></div>
+        <div class="g"><div class="n">02</div><div class="t"><b>平稳性</b> + 协方差 = ρ + 线性漂移加噪声，三性质齐备。</div></div>
+        <div class="g"><div class="n">03</div><div class="t"><b>Mehler</b>：d 阶 Hermite 成分相关性 = ρᵈ。</div></div>
+        <div class="g"><div class="n">04</div><div class="t">核心不等式 corrᵢ = Σ wᵈ ρᵈ ≤ ρ，等号 ⟺ <b>纯线性</b>。</div></div>
+        <div class="g" style="grid-column:1 / -1;"><div class="n">05</div><div class="t">最小化对齐损失 → 最大化相关性 → <b>编码器必须线性</b>（定理一）。</div></div>
+      </div>
+    </div>
+  </section>
+
+  <!-- 12 尾页 -->
+  <section class="slide cover posBL">
+    <div class="glow amber"></div>
+    <div class="kicker"><span class="ln"></span>下一站</div>
+    <h1 style="font-size:88px;margin-top:30px;">谱分解<br><em>与线性可识别性</em></h1>
+    <p class="lead" style="margin-top:34px;font-size:30px;">下一讲把 Hermite 展开与 OU 衰减正式拼起来，组装成定理一的完整证明。</p>
+    <div class="meta">谢谢收听 · 配套音频 ou_mehler-podcast.mp3 · 弹簧拉小球，ρ 拧大小 · 我们下次见</div>
+  </section>
+
+</div></div>
+
+<div class="nav">
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+  <button id="next">下一页 →</button>
+</div>
+
+<script>
+  const STAGE = document.getElementById('stage');
+  const slides = Array.from(document.querySelectorAll('.slide'));
+  const total = slides.length;
+  const KEY = 'ou_mehler_deck_page';
+
+  let cur = parseInt(localStorage.getItem(KEY) || '0', 10);
+  if (isNaN(cur) || cur < 0 || cur >= total) cur = 0;
+
+  function fit(){
+    const s = Math.min(window.innerWidth / 1920, window.innerHeight / 1080);
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+  }
+  window.addEventListener('resize', fit); fit();
+
+  function show(i){
+    cur = (i + total) % total;
+    slides.forEach((s, idx) => s.classList.toggle('active', idx === cur));
+    document.getElementById('pg').textContent = `${cur + 1} / ${total}`;
+    const w = ((cur) / (total - 1) * 100).toFixed(1) + '%';
+    document.querySelectorAll('.page-footer .prog i').forEach(b => b.style.width = w);
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+  }
+
+  slides.forEach((s, idx) => {
+    const f = document.createElement('div');
+    f.className = 'page-footer';
+    f.innerHTML = `<span>OU 过程 · Mehler 公式</span><span class="prog"><i></i></span><span>${String(idx+1).padStart(2,'0')} / ${String(total).padStart(2,'0')}</span>`;
+    s.appendChild(f);
+  });
+
+  document.getElementById('prev').addEventListener('click', () => show(cur - 1));
+  document.getElementById('next').addEventListener('click', () => show(cur + 1));
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+  document.addEventListener('keydown', (e) => {
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