Add detailed lecture plan and summary for LeJEPA four theorems

- Introduced a comprehensive lecture plan for the four main theorems in LeJEPA, including knowledge dependency graphs, detailed outlines for each topic, and corresponding Lean 4 files for formal verification.
- Created a summary document encapsulating the core insights and mathematical structures of the four theorems, emphasizing their interdependencies and implications in the context of LeJEPA.

plans/LEJEPA_research_analysis.md

@@ -0,0 +1,247 @@
+# LeJEPA 研究全面分析
+
+> **项目位置：** [`/Users/mac/code/worldmodel/JEPA/`](../JEPA/)
+> **分析日期：** 2026-06-05
+
+---
+
+## 📌 一、LeJEPA 是什么？
+
+**LeJEPA** = **L**ean **E**fficient **JEA**PA（Yann LeCun 团队的自监督学习框架）
+
+### 核心组成
+```
+LeJEPA = JEPA (Joint-Embedding Predictive Architecture) + SIGReg
+```
+
+| 组件 | 作用 |
+|------|------|
+| **JEPA** | 在表示空间做预测，避免像素级生成的容量浪费 |
+| **SIGReg** | Sketched Isotropic Gaussian Regularization（切片各向同性高斯正则化）|
+| **对齐损失** | 拉近正样本对的嵌入表示 |
+
+### SIGReg 的核心设计
+```python
+# 特征函数方法（而非矩匹配）
+L_SIG = E[|φ_h(t) - φ_N(0,I)(t)|²]  # 特征函数差异
+```
+
+- 用**特征函数（Fourier变换）**的实部/虚部偏差度量分布差异
+- 随机切片将高维问题降为一维投影，线性时间复杂度
+- `knots=17` 个积分节点 + `n_slices=256` 个随机方向
+
+---
+
+## 📐 二、四大定理——理论核心贡献
+
+### 数学框架：世界的三条假设
+| 假设 | 数学表述 | 直觉 |
+|------|---------|------|
+| **独立性** | p(zᵢ) ⊥ p(zⱼ)，转移也独立 | 世界的各自由度互不干扰 |
+| **平稳性** | p(z) = p(z') | 两个视图来自同一生成过程 |
+| **加性噪声** | z'ᵢ = mᵢ(zᵢ) + ηᵢ | 扰动是叠加在信号上的噪声 |
+
+### 高斯世界（Gaussian World）
+```
+z' = ρz + √(1-ρ²)η,   η ~ N(0, Iₙ),   ρ ∈ (0,1)
+```
+
+### 定理总览图
+```
+┌─────────────────────────────────────────────────────┐
+│                   四大定理闭环                        │
+├─────────────────────────────────────────────────────┤
+│                                                     │
+│  定理1（正向）：高斯世界 + LeJEPA → h(z) = Qz       │
+│         ↕                                           │
+│  定理2（逆向）：高斯是唯一使可识别性成立的分布        │
+│         ↓                                           │
+│  定理3（近似）：条件近似满足时，误差有界              │
+│         ↓                                           │
+│  定理4（应用）：线性可识别 → 潜空间规划 = 真实世界    │
+│                                                     │
+└─────────────────────────────────────────────────────┘
+```
+
+### 定理1：线性可识别性（正向）
+> **在高斯世界中，满足 LeJEPA 目标的最优表示 h 当且仅当 h(z) = Qz，Q ∈ O(n)**
+
+**证明链条（6步）：**
+```
+高斯约束 + 最优对齐
+        ↓
+[步骤1] Hermite展开：hᵢ(z) = Σ cₐ Heₐ(z)
+        ↓
+[步骤2] Mehler公式：corrᵢ = Σ wₐ ρᵈ
+        ↓
+[步骤3] 关键不等式：corrᵢ ≤ ρ（等号 ⟺ w₁=1）
+        ↓
+[步骤4] 最优性条件：L_align = 2(1-ρ)n → 每个 corrᵢ = ρ
+        ↓
+[步骤5] 线性性：每个 hᵢ 是线性函数
+        ↓
+[步骤6] 正交性：高斯约束 + 线性 → Q ∈ O(n)
+```
+
+**核心直觉：** OU过程对高阶非线性成分衰减更快（ρᵈ 随 d 指数衰减），所以线性映射是唯一最优解。
+
+### 定理2：高斯分布的唯一性（逆向）
+> **在满足世界假设的所有分布中，高斯分布是唯一使 LeJEPA 实现线性可识别性的分布**
+
+**与 ICA 的完全反转：**
+| 场景 | 高斯分布 | 非高斯分布 |
+|------|---------|-----------|
+| **线性 ICA** | ❌ 失败（旋转不可区分） | ✅ 成功 |
+| **LeJEPA** | ✅ 成功 | ❌ 失败 |
+
+### 定理3：近似可识别性
+> **当条件只近似满足时，恢复误差优雅降级：**
+
+```
+E[‖h(z) - Qz‖²] ≤ D + (ε + D)²
+```
+
+| 参数 | 定义 | 含义 |
+|------|------|------|
+| δ（对齐间隙） | L_align(h) - 2(1-ρ)n ≥ 0 | 正样本对有多"不相似" |
+| ε（白化误差） | ‖Cov(h(z)) - Iₙ‖_F | 嵌入分布有多"不高斯" |
+
+**关键发现：**
+- **对齐质量 δ 是主要瓶颈**（通过 D 线性传播）
+- **白化误差 ε 影响是二阶的**（在平方项中）
+
+### 定理4：最优潜空间规划
+> **若 h(z) = Qz，则在任意 O(n)-不变代价函数下，潜空间规划与真实世界规划完全等价**
+
+```
+V̂*(h(z₀)) = V*(z₀)   且   â*_{1:T}(h(z₀)) = a*_{1:T}(z₀)
+```
+
+**覆盖的控制问题：** 欧氏距离到目标、LQR（P=cI）、范数惩罚、目标到达
+
+---
+
+## 🔬 三、实验验证体系
+
+### 四类实验对应四大定理
+| 实验 | 验证目标 | 关键结果 |
+|------|---------|---------|
+| **实验1：正向可识别性** | 定理1 | SIGReg R² > 0.999（N=2→1024） |
+| **实验2：逆向验证** | 定理2 | R²在α=2（高斯）处尖锐峰值 |
+| **实验3：近似界验证** | 定理3 | 实际误差均低于理论界 |
+| **实验4：潜空间规划** | 定理4 | OU编码器与oracle无差异 |
+
+### 三种正则化方法对比
+| N | SIGReg R²(h→z) | VICReg R²(h→z) | InfoNCE R²(h→z) |
+|---|----------------|----------------|-----------------|
+| 2 | **0.999998** | 0.999996 | 0.951 |
+| 256 | **0.999884** | 0.999889 | 0.697 |
+| 1024 | **0.999561** | 0.999582 | 0.720 |
+
+> SIGReg和VICReg在所有维度保持 R² > 0.999；InfoNCE在高维退化
+
+---
+
+## 🔧 四、代码仓库结构
+
+```
+lejepa-identifiability/
+├── lean/                    # Lean4 形式化证明（零sorry）
+│   └── LeJEPA/
+│       ├── Hermite.lean     # 定理1（Hermite多项式路径）
+│       ├── Uniqueness.lean  # 定理2（高斯唯一性，Sturm-Liouville）
+│       ├── Approx.lean      # 定理3（近似可识别性界）
+│       ├── Dirichlet.lean   # 附录E（Dirichlet能量替代证明）
+│       └── Planning.lean    # 定理4（规划等价）
+├── experiments/
+│   ├── lejepa_id/           # 核心实验代码
+│   │   ├── mixing.py        # 非线性混合（spiral/banana/sinusoid/coupling）
+│   │   ├── losses.py        # SIGReg、白化损失、对齐损失、InfoNCE
+│   │   ├── models.py        # MLP/CNN编码器、MatchedEncoder
+│   │   ├── data.py          # 潜变量采样、OU增强
+│   │   ├── metrics.py       # R²、正交误差、近似界量化、Procrustes
+│   │   ├── reacher.py       # DMC Reacher渲染与数据集
+│   │   └── engine.py        # 训练循环（warmup + cosine LR）
+│   ├── run.py               # 2D/scaling/gennorm/grid统一入口
+│   └── configs/             # 实验超参数YAML
+```
+
+---
+
+## 📊 五、与相关工作的关系
+
+### LeJEPA vs SFA（慢特征分析）
+| 维度 | Sprekeler et al. (2014) SFA | LeJEPA（本文）|
+|------|---------------------------|------------|
+| 可识别性类 | 置换等价 | **正交等价** |
+| 潜变量分布 | 任意独立 | **高斯（或i.i.d.）** |
+| 转移结构 | 需要不同速率 | **需要各向同性** |
+| 提取方式 | 顺序（贪心） | **同时** |
+| 函数空间 | 固定多项式核 | **学习（神经网络）** |
+| 近似界 | ❌ 无 | ✅ D+(ε+D)² |
+| 实用算法 | xSFA（脆弱，≤6个潜变量） | **LeJEPA/SIGReg（可扩展）** |
+
+### LeJEPA 生态系统
+```
+LeJEPA 生态
+├── 理论基础
+│   ├── arXiv:2511.08544 (LeJEPA原始论文)
+│   └── arXiv:2605.26379 (可识别性理论，本文)
+├── 应用扩展
+│   ├── arXiv:2603.19312 (LeWorldModel，像素控制)
+│   └── arXiv:2602.11389 (Causal-JEPA，因果干预)
+├── 代码
+│   ├── github.com/rbalestr-lab/lejepa (LeJEPA训练)
+│   └── github.com/klindtlab/lejepa-identifiability (可识别性实验)
+└── 演示
+    ├── YouTube: youtu.be/EioGDo67ZDs (官方视频)
+    └── Colab: 交互式2D演示 (~30秒，T4 GPU)
+```
+
+---
+
+## 💡 六、核心洞见与启示
+
+### 一句话总结
+> **LeJEPA将经典ICA的叙事完全颠倒：** 在线性ICA中，高斯分布是源分离**失败**的唯一情况；在LeJEPA的非线性设置中，高斯分布恰恰是使线性可识别性**成立**的唯一分布。
+
+### 对 WorldModel/PRISM 项目的启示
+1. **探索策略的重要性：** 近似各向同性随机游走的探索策略能保持数据在理论覆盖范围内
+2. **SIGReg优于VICReg：** 对非高斯潜变量更鲁棒，适合真实场景
+3. **对齐质量是关键瓶颈：** 训练中应优先减小对齐损失
+4. **线性可识别性 → 规划等价：** 为PRISM空间记忆架构中的潜空间规划提供理论保障
+
+---
+
+## ⚠️ 七、局限性与未来方向
+
+| 局限 | 说明 |
+|------|------|
+| **潜变量是否真的高斯？** | 中心极限定理支持宏观量趋向高斯，但无法从观测中验证 |
+| **维度不匹配（m≠n）** | 编码器维度与真实潜变量维度不同时的行为未理论化 |
+| **有限样本** | 定理3是总体层面结论，样本复杂度和训练动态未涉及 |
+| **动作条件转移** | 本文只处理编码器侧，p̂(ẑ'|ẑ,a)的可识别性是下一步 |
+
+---
+
+## 📚 八、项目内相关文件索引
+
+| 资源类型 | 路径 |
+|---------|------|
+| **论文精读** | [`JEPA/LeJEPA/paper_reading.md`](../JEPA/LeJEPA/paper_reading.md) |
+| **综合笔记** | [`JEPA/README.md`](../JEPA/README.md) |
+| **数学证明分解** | [`JEPA/math/`](../math/) — 6个topic拆解四大定理 |
+| **代码仓库** | [`JEPA/lejepa-identifiability/`](../lejepa-identifiability/) |
+| **Lean4证明** | [`JEPA/lejepa-identifiability/lean/`](../lejepa-identifiability/lean/) |
+| **论文PDF** | [`research/papers/2605.26379v1.pdf`](../research/papers/2605.26379v1.pdf) |
+
+---
+
+## 🎯 九、下一步研究建议
+
+基于以上分析，以下是可能的后续研究方向：
+
+1. **扩展动作条件转移的可识别性理论**（定理4的下一步）
+2. **探索非高斯分布下的近似可识别性界**（定理3的推广）
+3. **将LeJEPA框架应用于PRISM空间记忆架构**（定理4的实际应用）
+4. **研究有限样本下的收敛速率和泛化界**（理论完善）

plans/lejepa_math_lecture_plan.md

@@ -0,0 +1,322 @@
+# LeJEPA 数学定理专题讲解计划
+
+## 📋 任务概述
+
+对 LeJEPA（*When Does LeJEPA Learn a World Model?*）论文中的四大数学定理进行**分专题的系统性讲解与严格推理证明**。
+
+---
+
+## 🗺️ 知识依赖图
+
+```
+专题1: Hermite多项式与谱分解理论
+    │
+    ├──→ 预备知识: L²空间, 正交基, 高斯测度
+    │
+    ↓
+专题2: OU过程与Mehler公式的严格推导
+    │
+    ├──→ 预备知识: 随机过程, 条件期望, 转移核
+    │
+    ↓
+专题3: 定理1 — 线性可识别性（完整证明）
+    │
+    ├──→ 组合专题1+2的工具 + Procrustes分析
+    │
+    ↓                    ↘
+专题4: 定理2 — 高斯唯一性   专题5: 定理3 — 近似可识别界
+    │                        （组合专题1+2 + 三角不等式）
+    ↓                        
+专题6: 定理4 — 最优潜空间规划
+    │
+    └──→ O(n)-不变性 + 轨迹推前论证
+```
+
+---
+
+## 📚 六大专题详细设计
+
+### 专题 I：Hermite多项式与谱分解理论（定理1的基础）
+
+**目标：** 建立高斯测度下函数展开的完整数学框架
+
+**内容大纲：**
+1. **Hermite多项式的严格定义**
+   - 显式公式：`Heₙ(x) = (-1)ⁿ eˣ²/² (dⁿ/dxⁿ)e^{-x²/2}`
+   - 递推关系证明：`He_{n+1}(x) = x·Heₙ(x) - n·He_{n-1}(x)`
+   - 前6个多项式的显式计算
+
+2. **正交性的严格证明**
+   - 在概率测度 `γ = N(0,1)` 下的内积定义：`⟨f,g⟩_γ = E[f(z)g(z)]`
+   - 证明：`⟨Heₘ, Heₙ⟩_γ = δ_{mn} · n!`
+   - 多变量推广：`He_α(z) = ∏ᵢ He_{αᵢ}(zᵢ)`，`⟨He_α, He_β⟩ = δ_{αβ} · α!`
+
+3. **完备性定理**
+   - `L²(γ)` 是 Hilbert 空间
+   - Hermite多项式构成完备正交基
+   - Parseval 恒等式：`‖f‖² = Σ_α |⟨f, Heₐ⟩|² / α!`
+
+4. **谱权重与方差分解**
+   - 定义：`w_{f,d} = Σ_{|α|=d} cₐ² · α! / ‖f‖²`
+   - 证明：`Σ_d w_{f,d} = 1`，`w_{f,0} = 0`（零均值时）
+   - 谱权重作为"非线性程度"的度量
+
+**Lean 4 对应：** [`Hermite.lean`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/Hermite.lean)
+
+---
+
+### 专题 II：Ornstein-Uhlenbeck过程与Mehler公式（定理1的基础）
+
+**目标：** 严格推导OU过程的谱性质和Mehler求和公式
+
+**内容大纲：**
+1. **OU过程的严格定义与性质**
+   - 连续时间 SDE：`dz_t = -θz_t dt + σdW_t`
+   - 平稳分布：证明 `z_t ~ N(0, σ²/(2θ))` 是平稳分布
+   - 离散时间版本：`z' = ρz + √(1-ρ²)η`
+   - 平稳性证明：若 `z ~ N(0,I)`，则 `z' ~ N(0,I)`
+
+2. **转移核的显式形式**
+   - 条件分布：`z'|z ~ N(ρz, (1-ρ²)I)`
+   - 转移密度：`p(z'|z) = φ((z'-ρz)/√(1-ρ²)) / (1-ρ²)^{n/2}`
+   - 其中 `φ` 是标准高斯密度
+
+3. **Mehler公式的严格推导**
+   - 生成函数法：`Σ_{n=0}^{∞} (tⁿ/n!) Heₙ(x) = e^{xt - t²/2}`
+   - 核心恒等式：`Σ_{n=0}^{∞} (ρⁿ/n!) Heₙ(x)Heₙ(y) = exp((xyρ - ρ²x²/2 - ρ²y²/2)/(1-ρ²)) / √(1-ρ²)`
+   - Mehler公式：`p(z'|z) = φ(z') · Σ_{α} ρ^{|α|} He_α(z)He_α(z') / α!`
+
+4. **相关性公式与谱衰减**
+   - 定理：对任意 `f,g ∈ L²(γ)`，`E[f(z)g(z')] = Σ_α ρ^{|α|} ⟨f,Heₐ⟩⟨g,Heₐ⟩/α!`
+   - 推论：对编码器分量 `h_i`，`corr_i = Σ_{d=1}^{∞} w_{i,d} · ρᵈ`
+   - 关键不等式：`corr_i ≤ Σ w_{i,d} · ρ = ρ`，等号 ⟺ `w_{i,1}=1`
+
+**Lean 4 对应：** [`Hermite.lean`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/Hermite.lean) 中的 `mehler_summability`
+
+---
+
+### 专题 III：定理1 — 线性可识别性（完整证明）
+
+**目标：** 组合前两个专题的工具，完成定理1的严格证明
+
+**内容大纲：**
+1. **定理陈述与假设梳理**
+   - 世界模型：`z ~ N(0, Iₙ)`，正样本对由OU过程生成
+   - 编码器约束：`h: ℝⁿ → ℝⁿ`，`h(z) ~ N(0, Iₙ)`
+   - 优化目标：最小化 `L_align(h) = E[‖h(z')-h(z)‖²]`
+   - 结论：最优 `h` 满足 `h(z) = Qz`，`Q ∈ O(n)`
+
+2. **证明步骤1-3：Hermite展开与相关性上界**
+   - 对每个分量 `h_i`，Hermite展开：`h_i(z) = Σ_α c_{i,α} Heₐ(z)`
+   - 高斯约束的谱含义：`Σ_{|α|≥1} c_{i,α}² · α! = 1`
+   - Mehler公式：`corr_i = Σ_{d=1}^{∞} w_{i,d} · ρᵈ`
+   - 不等式：`corr_i ≤ ρ`，等号 ⟺ `w_{i,1} = 1`
+
+3. **证明步骤4：最优性条件**
+   - `L_align = 2n - 2Σᵢ corr_i ≥ 2(1-ρ)n`
+   - 最优值 `L_align* = 2(1-ρ)n` ⟺ 每个 `corr_i = ρ`
+   - 等号条件：每个 `h_i` 只有 d=1 的 Hermite 成分
+
+4. **证明步骤5-6：线性性与正交性**
+   - 线性性：`h_i(z) = Σⱼ a_{ij} z_j`，即 `h(z) = Az`
+   - 高斯约束：若 `z ~ N(0,I)`，则 `Az ~ N(0, AA^T)`
+   - 正交性：`AA^T = Iₙ ⟺ A ∈ O(n)`
+   - 结论：`h(z) = Qz`，`Q ∈ O(n)`
+
+5. **唯一性讨论**
+   - 正交等价类：`h(z) = Qz`，`Q ∈ O(n)` 都是最优解
+   - 为什么不能进一步识别（需要额外约束）
+
+**Lean 4 对应：** [`Hermite.lean`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/Hermite.lean) 中的 `hermite_identifiability`
+
+---
+
+### 专题 IV：定理2 — 高斯唯一性（Sturm-Liouville方法）
+
+**目标：** 证明高斯分布是唯一使线性可识别性成立的分布
+
+**内容大纲：**
+1. **定理陈述与背景**
+   - 世界假设：独立性、平稳性、加性噪声 `z' = m(z) + η`
+   - 结论：高斯是**唯一**使线性可识别性成立的分布
+
+2. **转移算子与Sturm-Liouville理论**
+   - 条件期望作为转移算子：`T[f](z) = E[f(z')|z]`
+   - 在 `L²(p)` 中的自伴性证明
+   - Sturm-Liouville方程的推导：`T[φ] = λ·φ ⟺ -(Kpφ')' = -λ₁ p φ`
+   - 显式形式：`K·score(z)·φ(z) + K·φ'(z) = -λ₁·φ(z)`
+
+3. **从仿射特征函数到高斯分布**
+   - 假设：`φ₁(z) = az + b`（仿射）
+   - 代入SL方程：`K·score(z)·a = -λ₁(az+b)`
+   - 解得分函数：`score(z) = -(λ₁/K)·z - (λ₁b)/(Ka)`
+   - 积分：`log p(z) = -(λ₁/2K)·z² + ...`
+   - 结论：`p(z)` 是高斯分布
+
+4. **反向证明（高斯 → Hermite多项式）**
+   - 对 `p = N(0,1)`，得分函数为 `-z`
+   - SL方程变为：`-φ'(z) + z·φ(z) = -(λ₁/K)·φ(z)`
+   - 验证：`Heₙ(z)` 是特征函数，对应 `λ_{n+1} = n·K`
+   - 第一非常数特征函数：`He₁(z) = z`（仿射）
+
+5. **双条件定理**
+   ```
+   p 是高斯分布 ⟺ φ₁(z) = az+b ⟺ LeJEPA实现线性可识别性
+   ```
+
+6. **与经典ICA的对比分析**
+   - 线性 ICA：高斯是"最难分离"的情况（旋转不变性）
+   - LeJEPA：高斯是"最容易识别"的分布（Mehler公式）
+   - 根本原因：ICA利用高阶统计量，LeJEPA利用时间结构
+
+**Lean 4 对应：** [`Uniqueness.lean`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/Uniqueness.lean)
+
+---
+
+### 专题 V：定理3 — 近似可识别性界
+
+**目标：** 量化假设只近似满足时的恢复误差上界
+
+**内容大纲：**
+1. **定理陈述与动机**
+   - 精确版本（定理1）：完美条件下 `h(z) = Qz`
+   - 近似版本：条件只近似满足时，误差有界
+
+2. **两个误差参数的严格定义**
+   - 对齐间隙：`δ = L_align(h) - 2(1-ρ)n ≥ 0`
+   - 白化误差：`ε = ‖Cov(h(z)) - Iₙ‖_F`
+   - 归一化量：`D = δ / (2ρ(1-ρ))`
+
+3. **谱间隙的严格分析**
+   - 线性成分与二次成分的差距：`ρ¹ - ρ² = ρ(1-ρ)`
+   - 一般情况：`ρᵈ⁻¹ - ρᵈ = ρ^{d-1}(1-ρ)`
+   - 谱间隙最小值在 `d=2`：`ρ(1-ρ)`
+
+4. **从δ到D的转换**
+   - `L_align = 2n - 2Σᵢ Σ_d w_{i,d} ρᵈ`
+   - `δ = 2Σᵢ Σ_{d≥2} w_{i,d}(ρ - ρᵈ)`
+   - 下界：`δ ≥ 2Σᵢ Σ_{d≥2} w_{i,d} · ρ(1-ρ)`
+   - 结论：`Σᵢ Σ_{d≥2} w_{i,d} ≤ δ/(2ρ(1-ρ)) = D`
+
+5. **从D到恢复误差**
+   - 线性近似：取 `A` 为 `h` 的 d=1 成分
+   - `E[‖h(z) - Az‖²] = Σᵢ Σ_{d≥2} w_{i,d} · ‖h‖² ≤ D`
+
+6. **Procrustes分析：从A到Q**
+   - 定义 `Q = argmin_{O∈O(n)} ‖A - O‖_F`（正交Procrustes问题）
+   - SVD分解：`A = UΣV^T ⟹ Q = UV^T`
+   - 误差界：`‖A-Q‖_F ≤ ε + D`（需要详细推导）
+
+7. **最终组合**
+   - `E[‖h(z) - Qz‖²] ≤ E[‖h(z)-Az‖²] + ‖A-Q‖_F²`
+   - `≤ D + (ε+D)²`
+
+8. **数值分析与实验验证**
+   - 不同 `ρ, δ, ε` 水平下的界值计算表
+
+**Lean 4 对应：** [`Approx.lean`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/Approx.lean)
+
+---
+
+### 专题 VI：定理4 — O(n)-不变性与最优规划等价性
+
+**目标：** 证明线性可识别性足以保证O(n)-不变代价函数下的最优规划等价
+
+**内容大纲：**
+1. **定理陈述与背景**
+   - 设 `h(z) = Qz`，`Q ∈ O(n)`（由定理1保证）
+   - 控制问题：有限时域 `T`，状态空间 `ℝⁿ`
+   - 代价函数条件：O(n)-不变性
+
+2. **O(n)群与不变函数的严格定义**
+   - 正交群 `O(n) = {Q ∈ ℝ^{n×n} : Q^TQ = I}`
+   - O(n)-不变函数：`ℓ(Qz, a) = ℓ(z,a)` 对所有 `Q ∈ O(n)`
+   - 常见例子与反例的详细分析
+
+3. **代价等价引理**
+   - 证明：`ℓ(Qz, a) = ℓ(z,a)`（由O(n)-不变性）
+   - 对任意轨迹 `z_{0:T}`，`ℓ(Qz_t, a) = ℓ(z_t, a)`
+
+4. **轨迹推前（Trajectory Pushforward）**
+   - 真实动力学：`p(z'|z, a)`
+   - 潜空间动力学：`p̂(ẑ'|ẑ, a) = p(Q^T ẑ' | Q^T ẑ, a)`
+   - 验证：`p̂(Qz'|Qz, a) = p(z'|z, a)`
+
+5. **总代价等价**
+   - 对任意动作序列 `a_{1:T}`：
+     ```
+     J(a; z₀) = E[Σ_t ℓ(z_t, a_t)]
+     Ĵ(a; Qz₀) = E[Σ_t ℓ(Qz_t, a_t)]
+     ```
+   - 由O(n)-不变性：`J(a; z₀) = Ĵ(a; Qz₀)`
+
+6. **最优性等价**
+   - `V*(z₀) = inf_a J(a; z₀)`
+   - `V̂*(Qz₀) = inf_a Ĵ(a; Qz₀)`
+   - 由于对所有 `a`，`J = Ĵ`：`V*(z₀) = V̂*(Qz₀)`
+   - 最优动作序列相同
+
+7. **实验验证：DMC Reacher**
+   - OU采样 vs RL轨迹的规划质量对比
+
+8. **局限性与扩展方向**
+   - 非O(n)-不变代价函数（如坐标依赖）
+   - 动作条件转移的可识别性
+   - 无限时域折扣MDP
+
+**Lean 4 对应：** [`Planning.lean`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/Planning.lean)
+
+---
+
+## 📊 各专题交付物清单
+
+| 专题 | 数学文件 | Lean验证对应 | 核心定理/公式数 |
+|------|---------|-------------|----------------|
+| I | [`01_hermite_polynomials.md`](JEPA/math/01_hermite_polynomials.md) | `Hermite.lean` (零sorry) | 4个定理, 2个恒等式 |
+| II | [`02_ou_process_mehler.md`](JEPA/math/02_ou_process_mehler.md) | `Hermite.lean` (零sorry) | 3个定理, Mehler公式 |
+| III | [`03_spectral_identifiability.md`](JEPA/math/03_spectral_identifiability.md) | `Hermite.lean` (零sorry) | 定理1完整证明 |
+| IV | [`04_sturm_liouville_uniqueness.md`](JEPA/math/04_sturm_liouville_uniqueness.md) | `Uniqueness.lean` (零sorry) | 定理2完整证明 |
+| V | [`05_approximate_identifiability.md`](JEPA/math/05_approximate_identifiability.md) | `Approx.lean` (零sorry) | 定理3完整证明 |
+| VI | [`06_planning_equivalence.md`](JEPA/math/06_planning_equivalence.md) | `Planning.lean` (零sorry) | 定理4完整证明 |
+
+---
+
+## 🎯 讲解风格与深度控制
+
+### 每个专题的标准结构
+1. **问题动机**（白话翻译）
+2. **严格定义与假设**
+3. **核心定理陈述**
+4. **逐步证明推导**（每步标注逻辑依据）
+5. **几何/物理直觉图示**
+6. **数值例子与实验验证**
+7. **Lean 4形式化对应**
+8. **小结与下一步指引**
+
+### 数学深度级别标记
+- ⭐⭐：本科水平（需要线性代数、概率论基础）
+- ⭐⭐⭐：研究生入门级（需要泛函分析、随机过程基础）
+
+---
+
+## 📅 建议执行顺序与依赖关系
+
+```
+Phase 1: 基础工具（专题 I + II）
+    ↓
+Phase 2: 核心定理（专题 III → V，可并行 II→III, I→IV）
+    ↓
+Phase 3: 应用定理（专题 VI，依赖 III + V）
+```
+
+---
+
+## 🔗 与现有资源的对应关系
+
+| 资源 | 路径 | 用途 |
+|------|-----|------|
+| 论文PDF | [`2605.26379v1.pdf`](JEPA/LeJEPA/) | 定理原始来源 |
+| Lean工程 | [`lejepa-identifiability/lean/`](JEPA/lejepa-identifiability/lean/) | 形式化验证（零sorry） |
+| Python实验 | [`lejepa-identifiability/experiments/`](JEPA/lejepa-identifiability/experiments/) | 数值验证与可视化 |
+| 动画工具 | [`lejepa-identifiability/animations/`](JEPA/math/animations/) | 交互式参数演示 |
+| 论文笔记 | [`lejepa_world_model_notes.md`](JEPA/ achieve/) | 综合分析参考 |