LeJEPA · Topic 6 · 定理 4
正交不变性 与最优规划
学到的潜空间 ẑ = Qz 只是真实空间 z 的旋转。旋转角 θ 任意，只要代价函数是 O(n)-不变的，两边规划的总代价就完全相同。
旋转角 θ（Q ∈ O(n)）
45°
ẑ = Qz，Q 是旋转 θ 的正交矩阵。无论 θ 多少，点云形状不变（保距离、保角度）。
代价函数类型
距离类代价旋转不变 → 定理4成立；坐标类代价依赖方向 → 不适用。
代价等价（核心）
ℓ(Qz, a) = ℓ(z, a) （O(n)-不变）
J(a; Qz₀) = J(a; z₀)
→ â* = a* 且 V̂* = V*
为什么足够？
正交变换保持：
‖Qz₁−Qz₂‖ = ‖z₁−z₂‖
⟨Qz₁,Qz₂⟩ = ⟨z₁,z₂⟩
来源：JEPA/math/06_planning_equivalence.md