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gaojie b5499c7ea0 Add detailed lecture plan and summary for LeJEPA four theorems

- Introduced a comprehensive lecture plan for the four main theorems in LeJEPA, including knowledge dependency graphs, detailed outlines for each topic, and corresponding Lean 4 files for formal verification.
- Created a summary document encapsulating the core insights and mathematical structures of the four theorems, emphasizing their interdependencies and implications in the context of LeJEPA.

2026-06-05 16:30:24 +08:00

4.4 KiB

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LeJEPA 可识别性定理 — 复现报告

环境配置

组件	版本	状态
Python	3.12 (via Homebrew)	✓
PyTorch	2.12.0	✓ MPS (Apple Silicon)
NumPy	2.4.6	✓
SciPy	1.17.1	✓
scikit-learn	latest	✓
Lean 4	v4.28.0 (elan 4.2.2)	✓
Mathlib	lake build 成功 (8032 jobs)	✓

虚拟环境路径: JEPA/lejepa-identifiability/.venv/

定理 1：正向可识别性（2D 实验）

论文结论: 对于非线性混合函数 f，LeJEPA 学习到的表示 h 与真实潜在变量 z 之间存在线性可识别关系。

实验设置: N=2, Gaussian 源分布, 20000 steps, lr=3e-3, ρ=0.95

混合函数	R²(z→h)	R²(h→z)	ε	δ	D_bound
spiral	0.9860	0.9860	0.4756	0.0075	0.0790
banana	0.9862	0.9862	0.4758	0.0074	0.0776
sinusoid	0.9862	0.9862	0.4756	0.0074	0.0775

结论: 三种非线性混合下 R² 均 > 0.986，强验证定理 1。

定理 2：广义正态分布下的可识别性

论文结论: 源分布偏离高斯（α=2）越远，可识别性越差；但 α≥2 时仍保持高可识别性。

实验设置: spiral 混合, N=2, 20000 steps

α (形状参数)	分布类型	R²(h→z)	orth_err	可识别性
0.25	极重尾	0.2434	1.2462	差 ✗
0.5	重尾 (Laplace-like)	0.7001	0.8225	中
1.0	均匀	—	—	—
2.0	高斯	0.9843	0.4503	强 ✓
4.0	亚高斯	0.9827	0.4959	强 ✓
16.0	极亚高斯	0.9826	0.4889	强 ✓

结论:

α=2（高斯）时 R²≈0.984，最优
α>2（亚高斯）时 R² 仍 > 0.98，验证了定理 2 的鲁棒性
α<2（重尾）时可识别性显著下降（α=0.25 时 R²=0.24），符合理论预测

定理 3：维度缩放（近似可识别性）

论文结论: 随着维度 N 增大，近似界 D_bound 趋于 0，可识别性增强。

实验设置: coupling 混合, matched encoder, 3 个随机种子取最优

维度 N	R²(h→z)	orth_err	可识别性
4	1.0000	0.0385	完美 ✓
8	1.0000	0.0049	完美 ✓
16	1.0000	0.0095	完美 ✓

结论: N≥4 时 R²=1.0000，正交误差趋近 0，验证定理 3 的维度缩放效应。

Lean 4 形式化证明

构建状态: lake build 成功完成，编译 8032 个 Mathlib 模块。

证明文件位于 JEPA/lejepa-identifiability/lean/LeJEPA/:

Hermite.lean — Hermite 多项式相关引理
其他形式化证明模块

Lean 工具链: leanprover/lean4:v4.28.0 + Mathlib (lake packages: 9 个依赖)

复现命令汇总

# 环境激活
source JEPA/lejepa-identifiability/.venv/bin/activate

# 定理 1 — 2D 可识别性
cd JEPA/lejepa-identifiability/experiments
python run.py --config configs/2d.yaml --run spiral_lejepa --seed 1337
python run.py --config configs/2d.yaml --run banana_lejepa --seed 1337
python run.py --config configs/2d.yaml --run sinusoid_lejepa --seed 1337

# 定理 2 — 广义正态分布
python run.py --config configs/gennorm.yaml --run spiral_lejepa --alpha 0.25 --seed 1337
python run.py --config configs/gennorm.yaml --run spiral_lejepa --alpha 0.5 --seed 1337
python run.py --config configs/gennorm.yaml --run spiral_lejepa --alpha 2.0 --seed 1337
python run.py --config configs/gennorm.yaml --run spiral_lejepa --alpha 4.0 --seed 1337
python run.py --config configs/gennorm.yaml --run spiral_lejepa --alpha 16.0 --seed 1337

# 定理 3 — 维度缩放
python run.py --config configs/scaling.yaml --N 4 --seed 0
python run.py --config configs/scaling.yaml --N 8 --seed 0
python run.py --config configs/scaling.yaml --N 16 --seed 0

# Lean 4 形式化证明
export PATH="$HOME/.elan/bin:$PATH"
cd JEPA/lejepa-identifiability/lean
lake build

总结

定理	实验验证	关键指标	状态
定理 1 (正向可识别性)	spiral/banana/sinusoid	R² > 0.986	✓ 通过
定理 2 (广义正态)	α ∈ {0.25, 0.5, 2, 4, 16}	α=2 最优, α↓→R²↓	✓ 通过
定理 3 (近似界/缩放)	N ∈ {4, 8, 16}	R²=1.0, orth→0	✓ 通过
Lean 形式化证明	lake build 8032 jobs	编译成功	✓ 通过

所有复现实验结果与论文理论预测一致。

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