docs(lean): 新增 HOWTO_PROOF.md — LeJEPA Lean4 证明过程完整指南

内容涵盖： - 为什么用 Lean4 做数学证明（vs 传统证明） - 项目结构与文件依赖关系 - axiom vs theorem 核心概念 - 5 个证明文件逐行走读（Hermite/Uniqueness/Approx/Dirichlet/Planning） - 关键 Mathlib 定理对照表 - 常用证明策略速查表（linarith/nlinarith/ring/field_simp 等） - 如何添加新定理的完整步骤 - 调试技巧与常见错误解决
2026-06-05 17:37:50 +08:00
parent c06c167a0c
commit bb342fc492
1 changed files with 517 additions and 0 deletions
@@ -0,0 +1,517 @@
+# LeJEPA Lean 4 证明过程 How-To
+
+> 本文档面向想要**理解、修改或扩展** LeJEPA 形式化证明的读者。
+> 从"为什么用 Lean"到"如何写一个新定理"，逐步讲解。
+
+---
+
+## 目录
+
+1. [为什么用 Lean 4 做数学证明](#1-为什么用-lean-4-做数学证明)
+2. [项目结构速览](#2-项目结构速览)
+3. [核心概念：axiom vs theorem](#3-核心概念axiom-vs-theorem)
+4. [定理 4.1 证明走读（Hermite.lean）](#4-定理-41-证明走读hermitelean)
+5. [定理 4.2 证明走读（Uniqueness.lean）](#5-定理-42-证明走读uniquenesslean)
+6. [命题 4.3 证明走读（Approx.lean）](#6-命题-43-证明走读approxlean)
+7. [附录 C 证明走读（Dirichlet.lean）](#7-附录-c-证明走读dirichletlean)
+8. [推论 4.5 证明走读（Planning.lean）](#8-推论-45-证明走读planninglean)
+9. [常用 Lean 4 证明策略速查](#9-常用-lean-4-证明策略速查)
+10. [如何添加新定理](#10-如何添加新定理)
+11. [调试技巧](#11-调试技巧)
+
+---
+
+## 1. 为什么用 Lean 4 做数学证明
+
+### 传统数学证明的问题
+
+论文中的数学证明依赖人类读者的直觉填补细节。例如"由 Mehler 公式显然有…"这类表述，实际上隐藏了大量步骤。
+
+### Lean 4 的优势
+
+```
+人类直觉证明                    Lean 4 形式化证明
+─────────────────               ─────────────────────────────
+"显然 ρᵈ ≤ ρ"                  pow_le_self_of_pos_lt_one ρ hρ0 hρ1 d hd
+"由求和不等式"                  Summable.tsum_le_tsum (fun d => ...) ...
+"等号成立当且仅当线性"           equality_forces_degree_one sw ρ hρ0 hρ1 ...
+```
+
+Lean 4 强制你**填补每一个逻辑跳跃**，编译通过即意味着证明无误。
+
+### Mathlib 的作用
+
+Mathlib 是 Lean 4 的数学库，包含：
+- 实分析（`Mathlib.Analysis.*`）
+- 内积空间（`Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.*`）
+- 无穷级数（`Mathlib.Topology.Algebra.InfiniteSum.*`）
+- 线性代数（`Mathlib.LinearAlgebra.*`）
+
+LeJEPA 的证明大量复用 Mathlib 中已有的定理。
+
+---
+
+## 2. 项目结构速览
+
+```
+lean/
+├── lakefile.lean          # 构建配置，声明 Mathlib 依赖
+├── lean-toolchain         # 固定 Lean 版本：v4.28.0
+├── lake-manifest.json     # 锁定所有依赖的精确 commit
+├── LeJEPA.lean            # 顶层入口，import 所有子模块
+└── LeJEPA/
+    ├── Hermite.lean       # 定理 4.1：线性可识别性（主路径）
+    ├── Uniqueness.lean    # 定理 4.2：高斯唯一性
+    ├── Approx.lean        # 命题 4.3：近似可识别性界
+    ├── Dirichlet.lean     # 附录 C：Dirichlet 能量替代证明
+    ├── Planning.lean      # 推论 4.5：规划等价
+    ├── PropApprox.lean    # 命题 4.3 辅助引理
+    ├── ThmHermite.lean    # 定理 4.1 辅助引理
+    └── ThmDirichlet.lean  # 附录 C 辅助引理
+```
+
+### 依赖关系
+
+```
+Hermite.lean ──────────────────────────────► 定理 4.1
+     │
+     ▼
+Uniqueness.lean ───────────────────────────► 定理 4.2
+     │
+     ▼
+Approx.lean ───────────────────────────────► 命题 4.3
+     │
+     ▼
+Dirichlet.lean ────────────────────────────► 附录 C（独立路径）
+Planning.lean ─────────────────────────────► 推论 4.5
+```
+
+---
+
+## 3. 核心概念：axiom vs theorem
+
+### `theorem`（已验证）
+
+```lean
+theorem pow_le_self_of_pos_lt_one (ρ : ℝ) (hρ0 : 0 < ρ) (hρ1 : ρ ≤ 1)
+    (d : ℕ) (hd : 1 ≤ d) : ρ ^ d ≤ ρ := by
+  calc ρ ^ d ≤ ρ ^ 1 := pow_le_pow_of_le_one (le_of_lt hρ0) hρ1 hd
+       _ = ρ := pow_one ρ
+```
+
+`theorem` 后面跟着 `:= by` 和完整的证明策略。Lean 会**机械地验证**每一步。
+
+### `axiom`（公理化）
+
+```lean
+axiom mehler_summability
+    (sw : SpectralWeights) (ρ : ℝ) (hρ0 : 0 < ρ) (hρ1 : ρ < 1) :
+    Summable (fun d => sw.w d * ρ ^ d)
+```
+
+`axiom` 是**无证明的假设**，用于：
+1. Mathlib 中存在但接口不匹配的结论（如 Mehler 公式）
+2. 需要测度论/概率论框架才能严格表述的结论
+
+> ⚠️ axiom 不影响已验证定理的正确性，但意味着这些结论的严格性依赖于公理的正确性。
+
+### `structure`（数据结构）
+
+```lean
+structure SpectralWeights where
+  w : ℕ → ℝ           -- 权重函数
+  nonneg : ∀ d, 0 ≤ w d
+  zero_degree : w 0 = 0
+  summable : Summable w
+  total_variance : ∑' d, w d = 1
+```
+
+`structure` 将相关数据和约束打包，类似于数学中的"设 w 满足以下条件"。
+
+---
+
+## 4. 定理 4.1 证明走读（Hermite.lean）
+
+### 数学陈述
+
+> 若 h : ℝⁿ → ℝⁿ 满足 h(z) ~ N(0,Iₙ) 且最小化对齐损失，则 h(z) = Uz，U ∈ O(n)。
+
+### 证明链
+
+```
+Mehler 公式（axiom）
+    ↓
+corr_i = Σ_d w_d ρᵈ（axiom: correlation_eq_spectral_sum）
+    ↓
+corr_i ≤ ρ（VERIFIED: correlation_le_rho）
+    ↓
+𝓛(h) ≥ 2(1-ρ)n（VERIFIED: loss_lower_bound）
+    ↓
+𝓛(h) = 2(1-ρ)n → 每个 corr_i = ρ（VERIFIED: Finset.sum_lt_sum）
+    ↓
+corr_i = ρ → w_d = 0 for d ≥ 2（VERIFIED: equality_forces_degree_one）
+    ↓
+h 是线性的（axiom: linear_of_degree_one）
+    ↓
+h 是正交的（axiom: orthogonal_of_gaussian_linear）
+```
+
+### 关键引理逐行解析
+
+#### `correlation_le_rho`（相关性上界）
+
+```lean
+theorem correlation_le_rho (sw : SpectralWeights) (ρ : ℝ)
+    (hρ0 : 0 < ρ) (hρ1 : ρ < 1)
+    (hsum : Summable (fun d => sw.w d * ρ ^ d)) :
+    ∑' d, sw.w d * ρ ^ d ≤ ρ := by
+  calc ∑' d, sw.w d * ρ ^ d
+      ≤ ∑' d, sw.w d * ρ :=          -- 逐项 w_d·ρᵈ ≤ w_d·ρ
+        hsum.tsum_le_tsum
+          (fun d => spectral_term_le sw ρ hρ0 (le_of_lt hρ1) d)
+          (summable_spectral_upper sw ρ)
+    _ = ρ := tsum_spectral_upper sw ρ  -- Σ w_d·ρ = ρ（因为 Σ w_d = 1）
+```
+
+**关键 Mathlib 定理**：
+- [`Summable.tsum_le_tsum`](https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.html)：若逐项 f(d) ≤ g(d) 且两者可求和，则 Σf ≤ Σg
+- [`tsum_mul_right`](https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.html)：Σ(a_d · c) = (Σ a_d) · c
+
+#### `equality_forces_degree_one`（等号强制线性）
+
+```lean
+-- 反证法：假设存在 d₀ ≥ 2 使得 w_{d₀} > 0
+by_contra h
+push_neg at h
+obtain ⟨d₀, hd₀_ge, hd₀_ne⟩ := h
+-- 在 d₀ 处有严格不等式：w_{d₀}·ρ^{d₀} < w_{d₀}·ρ
+have hstrict : sw.w d₀ * ρ ^ d₀ < sw.w d₀ * ρ := ...
+-- 由 tsum_lt_tsum：Σ w_d·ρᵈ < Σ w_d·ρ = ρ
+-- 但假设 Σ w_d·ρᵈ = ρ，矛盾
+```
+
+**关键 Mathlib 定理**：
+- [`Summable.tsum_lt_tsum`](https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.html)：若存在一项严格小且其余项 ≤，则 tsum 严格小
+
+#### `hermite_identifiability`（主定理组装）
+
+```lean
+theorem hermite_identifiability ... := by
+  -- Step 1: 每个相关性 ≤ ρ
+  have hcorr_le : ∀ i, enc.correlation i ≤ ρ := ...
+  -- Step 2: 最优时每个相关性 = ρ（反证：若某个 < ρ，则损失 > 2(1-ρ)n）
+  have hcorr_eq_rho : ∀ i, enc.correlation i = ρ := by
+    by_contra hne; push_neg at hne
+    obtain ⟨i₀, hi₀⟩ := hne
+    -- Finset.sum_lt_sum：一项严格小 → 总和严格小 → 损失严格大
+    have hsum_lt : ∑ i, enc.correlation i < ∑ _i, ρ :=
+      Finset.sum_lt_sum (fun i _ => hcorr_le i) ⟨i₀, ..., hi₀_lt⟩
+    ...
+  -- Step 3: 相关性 = ρ → 度数集中在 1
+  have hdeg : ∀ i d, 2 ≤ d → (enc.spectrum i).w d = 0 := ...
+  -- Step 4-5: 线性 + 正交（axiom）
+  obtain ⟨M, hM⟩ := linear_of_degree_one enc hdeg
+  obtain ⟨U, hU⟩ := orthogonal_of_gaussian_linear M hnorm_M
+  exact ⟨U, fun z => by rw [hM z, hU z]⟩
+```
+
+---
+
+## 5. 定理 4.2 证明走读（Uniqueness.lean）
+
+### 数学陈述
+
+> 转移算子的第一个非常数特征函数是仿射的，当且仅当 p 是高斯分布。
+
+### 核心代数步骤
+
+```lean
+-- SL 特征方程：K · score(z) · a = −ev·(az + b)
+-- 目标：推出 score(z) = αz + β，其中 α < 0
+
+theorem score_affine_of_eigenfunction
+    (lc : LatentComponent) (a b : ℝ) (ha : a ≠ 0)
+    (heigen : ∀ z, lc.K * lc.score z * a = -(lc.ev * (a * z + b))) :
+    ∃ (α β : ℝ), α < 0 ∧ (∀ z, lc.score z = α * z + β) := by
+  refine ⟨-(lc.ev / lc.K), -(lc.ev * b / (lc.K * a)), ?_, ?_⟩
+  · -- α = −ev/K < 0（因为 ev > 0, K > 0）
+    have := div_pos lc.hev lc.hK; linarith
+  · -- 代数化简：从特征方程解出 score(z)
+    intro z
+    have hKa_ne : lc.K * a ≠ 0 := mul_ne_zero (ne_of_gt lc.hK) ha
+    have h1 : lc.score z = -(lc.ev * (a * z + b)) / (lc.K * a) := by
+      field_simp at h ⊢; linarith
+    rw [h1]; field_simp; ring
+```
+
+**关键策略**：
+- `field_simp`：自动化简含除法的等式（需要非零条件）
+- `ring`：纯代数恒等式验证
+- `linarith`：线性算术推理
+
+---
+
+## 6. 命题 4.3 证明走读（Approx.lean）
+
+### 数学陈述
+
+> 𝔼[‖h(z) − Qz‖²] ≤ D + (ε + D)²，其中 D = δ/(2ρ(1−ρ))
+
+### 四步证明结构
+
+```
+Step 1: 谱间隙控制非线性能量
+  δ ≥ 2ρ(1−ρ)·W_nl  →  W_nl ≤ D
+
+Step 2: 极分解给出线性偏差
+  ‖M−Q‖ ≤ ε + W_nl  →  ‖M−Q‖² ≤ (ε+W_nl)²
+
+Step 3: Pythagorean 分解（axiom）
+  total_error = ‖M−Q‖² + W_nl
+
+Step 4: 单调性
+  W_nl ≤ D  →  (ε+W_nl)²+W_nl ≤ (ε+D)²+D
+```
+
+### `nonlinear_energy_le_D`（Step 1）
+
+```lean
+theorem nonlinear_energy_le_D
+    (ρ δ W_nl : ℝ) (hρ0 : 0 < ρ) (hρ1 : ρ < 1)
+    (hgap : δ ≥ 2 * ρ * (1 - ρ) * W_nl) :
+    W_nl ≤ δ / (2 * ρ * (1 - ρ)) := by
+  have hsgap : (0 : ℝ) < 2 * ρ * (1 - ρ) := two_spectral_gap_pos ρ hρ0 hρ1
+  rw [le_div_iff₀ hsgap]  -- W_nl ≤ δ/c ↔ W_nl·c ≤ δ（c > 0）
+  linarith
+```
+
+### `bound_monotone`（Step 4）
+
+```lean
+theorem bound_monotone (ε W_nl D : ℝ)
+    (hle : W_nl ≤ D) :
+    (ε + W_nl) ^ 2 + W_nl ≤ (ε + D) ^ 2 + D := by
+  have h1 : ε + W_nl ≤ ε + D := by linarith
+  nlinarith [sq_nonneg (ε + D - ε - W_nl)]
+  -- nlinarith 处理非线性算术：(ε+D)²-(ε+W_nl)² = (D-W_nl)(2ε+D+W_nl) ≥ 0
+```
+
+**关键策略**：
+- `le_div_iff₀`：将 `a ≤ b/c`（c > 0）转化为 `a*c ≤ b`
+- `nlinarith`：非线性算术推理，可处理平方项
+
+---
+
+## 7. 附录 C 证明走读（Dirichlet.lean）
+
+### 数学陈述
+
+> C¹ 微分同胚 + 保高斯测度 + 正交 Jacobian → h(z) = Uz
+
+### 证明链（Step 3-6 已验证）
+
+```
+正交 Jacobian（假设）
+    ↓
+h 是 1-Lipschitz（MVT，VERIFIED）
+    ↓
+h⁻¹ 也是 1-Lipschitz（IFT + MVT，VERIFIED）
+    ↓
+双 Lipschitz → 全局等距（VERIFIED）
+    ↓
+Mazur–Ulam（axiom）→ h(z) = Az + b
+    ↓
+h(0) = 0 → b = 0（VERIFIED）
+    ↓
+A 保范数 → A 是线性等距（VERIFIED）
+```
+
+### `lipschitz_of_orthogonal_jacobian`（MVT 应用）
+
+```lean
+theorem lipschitz_of_orthogonal_jacobian
+    (h : GaussianDiffeo n)
+    (horth : ∀ z v, ‖h.jacobian z v‖ = ‖v‖) :
+    LipschitzWith 1 h.toFun := by
+  apply lipschitzWith_of_nnnorm_fderiv_le (𝕜 := ℝ)
+  · intro x; exact (h.hasFDeriv x).differentiableAt
+  · intro x
+    have hfderiv : fderiv ℝ h.toFun x = h.jacobian x :=
+      (h.hasFDeriv x).fderiv
+    rw [hfderiv, ContinuousLinearMap.opNNNorm_le_iff]
+    intro y; simp only [one_mul]
+    exact_mod_cast le_of_eq (horth x y)
+```
+
+**关键 Mathlib 定理**：
+- [`lipschitzWith_of_nnnorm_fderiv_le`](https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.html)：MVT 的 Lipschitz 版本
+- `ContinuousLinearMap.opNNNorm_le_iff`：算子范数的等价刻画
+
+### `isometry_of_bilipschitz`（双 Lipschitz → 等距）
+
+```lean
+theorem isometry_of_bilipschitz ... := by
+  rw [isometry_iff_dist_eq]
+  intro x y
+  apply le_antisymm
+  · -- dist(hx,hy) ≤ dist(x,y)：正向 Lipschitz
+    have hfwd := hlip.dist_le_mul x y
+    simp only [NNReal.coe_one, one_mul] at hfwd; exact hfwd
+  · -- dist(x,y) ≤ dist(hx,hy)：对 h⁻¹ 用 Lipschitz
+    have hbwd := hinvlip.dist_le_mul (h.toFun x) (h.toFun y)
+    -- h⁻¹(h(x)) = x，h⁻¹(h(y)) = y
+    rw [hx, hy] at hbwd; exact hbwd
+```
+
+---
+
+## 8. 推论 4.5 证明走读（Planning.lean）
+
+### 数学陈述
+
+> 对任意 O(n)-不变代价函数，在学习潜空间和真实潜空间中的最优值和最优计划完全一致。
+
+### 核心定理：`planning_equivalence`
+
+```lean
+theorem planning_equivalence ... := by
+  unfold totalCost
+  -- 阶段代价等价：对每个时间步 t
+  have hstage :
+      (∑ t, E_hat.stage_exp a (Q z) t cp.stage_cost)
+        = ∑ t, E.stage_exp a z t cp.stage_cost := by
+    apply Finset.sum_congr rfl
+    intro t _
+    exact stage_cost_equiv cp Q E_hat E hinv a z t
+  -- 终端代价等价
+  have hterm := terminal_cost_equiv cp Q E_hat E hinv a z
+  rw [hstage, hterm]
+```
+
+### `stage_cost_equiv`（阶段代价等价）
+
+```lean
+-- 关键步骤：O(n)-不变性 + 轨迹推前 → 代价相等
+theorem stage_cost_equiv ... := by
+  rw [stage_pushforward E_hat E Q a z t cp.stage_cost]
+  -- 推前后：E_hat.stage_exp a (Qz) t c = E.stage_exp a z t (c ∘ Q)
+  -- 由 O(n)-不变性：c(Q z', act) = c(z', act)
+  have hfun : (fun z' act => cp.stage_cost (Q z') act) = cp.stage_cost := by
+    funext z'; funext act
+    exact hinv.1 z' act  -- IsOrthogonalInvariant 的第一个分量
+  rw [hfun]
+```
+
+---
+
+## 9. 常用 Lean 4 证明策略速查
+
+| 策略 | 用途 | 示例 |
+|------|------|------|
+| `linarith` | 线性算术（加减乘常数） | `linarith [h1, h2]` |
+| `nlinarith` | 非线性算术（含平方） | `nlinarith [sq_nonneg x]` |
+| `ring` | 纯代数恒等式 | `ring` |
+| `field_simp` | 化简含除法的等式 | `field_simp [hne]` |
+| `simp` | 自动化简 | `simp [lemma1, lemma2]` |
+| `exact` | 精确匹配 | `exact h` |
+| `exact_mod_cast` | 带类型转换的精确匹配 | `exact_mod_cast h` |
+| `apply` | 应用定理（留下子目标） | `apply mul_pos` |
+| `rw` | 重写（等式替换） | `rw [h1, h2]` |
+| `calc` | 链式计算 | `calc a ≤ b := ... _ = c := ...` |
+| `by_contra` | 反证法 | `by_contra h; push_neg at h` |
+| `push_neg` | 将否定推入量词 | `push_neg at h` |
+| `obtain` | 解构存在量词 | `obtain ⟨x, hx⟩ := h` |
+| `intro` | 引入假设/变量 | `intro x hx` |
+| `funext` | 函数外延性 | `funext x` |
+| `constructor` | 分解 And/Iff | `constructor` |
+| `refine` | 部分填充目标 | `refine ⟨_, _, ?_, ?_⟩` |
+| `set` | 引入局部定义 | `set D := δ / (2*ρ*(1-ρ)) with hD_def` |
+
+---
+
+## 10. 如何添加新定理
+
+### 步骤 1：确定数学内容
+
+例如，想证明"当 n=1 时，相关性上界是紧的"。
+
+### 步骤 2：在合适的文件中添加
+
+```lean
+-- 在 Hermite.lean 末尾添加
+/-- 当 n=1 且 w₁=1 时，相关性恰好等于 ρ。 -/
+theorem correlation_tight_when_linear
+    (sw : SpectralWeights)
+    (hlin : ∀ d, 2 ≤ d → sw.w d = 0)
+    (ρ : ℝ) (hρ0 : 0 < ρ) (hρ1 : ρ < 1)
+    (hsum : Summable (fun d => sw.w d * ρ ^ d)) :
+    ∑' d, sw.w d * ρ ^ d = ρ := by
+  -- 由 hlin，所有 d ≥ 2 的项为 0
+  -- 由 w₀ = 0（zero_degree），只剩 d=1 项
+  -- w₁ = 1（由 total_variance 和其他项为 0）
+  sorry -- 待完成
+```
+
+### 步骤 3：填写证明
+
+```lean
+  -- 将 tsum 分解为 d=0, d=1, d≥2 三部分
+  have h_ge2 : ∀ d, 2 ≤ d → sw.w d * ρ ^ d = 0 := by
+    intro d hd; simp [hlin d hd]
+  have h0 : sw.w 0 * ρ ^ 0 = 0 := by simp [sw.zero_degree]
+  -- 利用 tsum_eq_single 或手动计算
+  ...
+```
+
+### 步骤 4：编译验证
+
+```bash
+cd lean
+lake build LeJEPA.Hermite
+```
+
+### 步骤 5：检查无 sorry
+
+```bash
+grep -n "sorry" LeJEPA/Hermite.lean
+```
+
+---
+
+## 11. 调试技巧
+
+### 查看当前目标
+
+在证明中插入 `?` 或使用 `#check` 查看类型：
+
+```lean
+theorem my_thm ... := by
+  intro h
+  -- 此时在 VS Code 中将鼠标悬停在下一行可看到当前目标
+  exact?  -- 让 Lean 搜索可用的定理
+```
+
+### 使用 `#check` 查看定理类型
+
+```lean
+#check Summable.tsum_le_tsum
+-- Summable.tsum_le_tsum : Summable g → (∀ b, f b ≤ g b) → Summable f → tsum f ≤ tsum g
+```
+
+### 使用 `example` 快速测试
+
+```lean
+-- 不需要命名，快速验证一个小引理
+example (a b : ℝ) (ha : 0 < a) (hb : 0 < b) : 0 < a * b :=
+  mul_pos ha hb
+```
+
+### 常见错误及解决
+
+| 错误 | 原因 | 解决 |
+|------|------|------|
+| `unknown identifier 'xxx'` | 引理名拼写错误 | 用 `exact?` 搜索 |
+| `type mismatch` | 类型不匹配 | 检查隐式参数，用 `exact_mod_cast` |
+| `failed to synthesize instance` | 缺少类型类实例 | 检查 import，添加 `[...]` 实例 |
+| `maximum recursion depth` | 证明太复杂 | 增加 `set_option maxHeartbeats` |
+| `tactic 'exact' failed` |