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专题 II：Ornstein-Uhlenbeck 过程与 Mehler 公式

前置知识： 专题 I：Hermite 多项式与谱分解理论、随机过程（条件期望）、测度论基础 目标： 严格推导 OU 过程的谱性质和 Mehler 求和公式，建立 \rho^d 衰减的数学基础 对应 Lean 4： Hermite.lean 中的 mehler_summability

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🎯 核心问题与证明定位

定理1的证明中，关键一步是计算编码器分量 h_i(z) 在正样本对 (z, z') 上的相关性：

\text{corr}_i = \mathbb{E}[h_i(z') \cdot h_i(z)]

专题 I 告诉我们如何将 h_i Hermite 展开，但计算这个期望需要知道 (z, z') 的联合分布结构。OU 过程提供了这个结构，而 Mehler 公式则是计算期望的解析工具。

本专题在整体证明中的位置：

定理1的证明路线：
  [Hermite展开] → [Mehler公式计算相关性] → [最优性条件迫使纯线性]
                         ↑
                   本专题完成此步

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§1 Ornstein-Uhlenbeck 过程的严格定义与性质

1.1 连续时间 OU 过程（SDE 框架）

定义 1.1（Ornstein-Uhlenbeck 过程）
OU 过程 \{z_t\}_{t \geq 0} 是以下随机微分方程（SDE）的解：

\boxed{dz_t = -\theta z_t \, dt + \sigma \, dW_t}

其中：

• $\theta > 0$：均值回归速率（mean-reversion rate）
• $\sigma > 0$：噪声强度（noise intensity）
• $W_t$：标准 Brownian motion（维纳过程），W_0 = 0

1.2 SDE 的显式解

命题 1.2（OU 过程的 Ornstein-Uhlenbeck 公式）
SDE dz_t = -\theta z_t dt + \sigma dW_t 的显式解为：

\boxed{z_t = z_0 e^{-\theta t} + \sigma \int_0^t e^{-\theta(t-s)} dW_s}

证明：
使用 Itô 公式。考虑函数 $f(t, z_t) = e^{\theta t} \cdot z_t$：

\begin{aligned} df(t, z_t) &= \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial z} dz_t \\ &= \theta e^{\theta t} z_t dt + e^{\theta t}(-\theta z_t dt + \sigma dW_t) \\ &= \sigma e^{\theta t} dW_t\end{aligned}

积分：

e^{\theta t} z_t - z_0 = \sigma \int_0^t e^{\theta s} dW_s

因此：

z_t = z_0 e^{-\theta t} + \sigma \int_0^t e^{-\theta(t-s)} dW_s\quad\square

1.3 平稳分布

定理 1.3（OU 过程的平稳分布）
设 $\theta, \sigma > 0$。若初始值 $z_0 \sim \mathcal{N}(0, \frac{\sigma^2}{2\theta})$，则对任意 $t \geq 0$：

z_t \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2\theta}\right)

即 \mathcal{N}(0, \frac{\sigma^2}{2\theta}) 是 OU 过程的平稳分布。

证明：
由命题1.2，z_t 是高斯过程（高斯初始值 + Gaussian noise 的线性泛函）。

均值：

\mathbb{E}[z_t] = \mathbb{E}[z_0] e^{-\theta t} + 0 = 0

方差：

\begin{aligned}\text{Var}(z_t) &= e^{-2\theta t} \cdot \text{Var}(z_0) + \sigma^2 \int_0^t e^{-2\theta(t-s)} ds \\&= e^{-2\theta t} \cdot \frac{\sigma^2}{2\theta} + \sigma^2 e^{-2\theta t} \cdot \left[\frac{e^{2\theta s}}{2\theta}\right]_0^t \\&= e^{-2\theta t} \cdot \frac{\sigma^2}{2\theta} + \frac{\sigma^2}{2\theta}(1 - e^{-2\theta t}) \\&= \frac{\sigma^2}{2\theta}\quad\square\end{aligned}

1.4 LeJEPA 中的离散时间 OU 过程

定义 1.5（LeJEPA 的离散 OU 转移）
在 LeJEPA 框架中，正样本对 (z, z') 由以下离散转移生成：

\boxed{z' = \rho z + \sqrt{1 - \rho^2} \cdot \eta, \quad \eta \sim \mathcal{N}(0, I_n),\; z \perp \eta}

其中 \rho \in (0, 1) 是相关系数参数。

1.5 离散 OU 过程的平稳性验证

命题 1.6（离散 OU 的平稳性）
设 $z \sim \mathcal{N}(0, I_n)$，z' 由定义1.5生成。则：

\boxed{z' \sim \mathcal{N}(0, I_n)}

证明：
z' 是高斯变量的线性组合，故仍为高斯。

均值：

\mathbb{E}[z'] = \rho \cdot \mathbb{E}[z] + \sqrt{1-\rho^2} \cdot \mathbb{E}[\eta] = 0

协方差：

\begin{aligned}\text{Cov}(z') &= \mathbb{E}[z' z'^\top] \\&= \mathbb{E}\left[(\rho z + \sqrt{1-\rho^2} \eta)(\rho z + \sqrt{1-\rho^2} \eta)^\top\right] \\&= \rho^2 \mathbb{E}[zz^\top] + (1-\rho^2) \mathbb{E}[\eta\eta^\top] + 2\rho\sqrt{1-\rho^2} \cdot \mathbb{E}[z] \cdot \mathbb{E}[\eta]^\top \\&= \rho^2 I_n + (1-\rho^2) I_n + 0 \\&= I_n\quad\square\end{aligned}

推论 1.7（联合高斯性）
(z, z') 是联合高斯向量：

\begin{pmatrix} z \\ z' \end{pmatrix} \sim \mathcal{N}\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\; \Sigma = \begin{pmatrix} I_n & \rho I_n \\ \rho I_n & I_n \end{pmatrix}\right)

证明：
z, z' 均为高斯，且 z' = \rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta 是 (z, \eta) 的线性变换，而 (z, \eta) 联合高斯。故 (z, z') 也联合高斯。

协方差块：

• $\text{Cov}(z, z) = I_n$（已知）
• $\text{Cov}(z', z') = I_n$（命题1.6）
• $\text{Cov}(z, z') = \mathbb{E}[zz'^\top] = \rho I_n$（直接计算）\square

1.6 OU 过程的三个关键性质总结

性质	数学表述	LeJEPA 中的对应假设
平稳性	z \sim \gamma \implies z' \sim \gamma	正样本对同分布
可控相关性	\text{Cov}(z, z') = \rho I_n	控制视图相似度
加性噪声	z' = \rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta	满足"加性噪声假设"

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§2 转移核与条件分布的显式形式

2.1 条件密度（转移核）

命题 2.1（OU 过程的转移核）
给定 $z$，条件分布 $z'|z \sim \mathcal{N}(\rho z, (1-\rho^2)I_n)$。其密度为：

\boxed{p(z'|z) = (2\pi(1-\rho^2))^{-n/2} \exp\left(-\frac{\|z' - \rho z\|^2}{2(1-\rho^2)}\right)}

证明：
由推论1.7，(z, z') 联合高斯。条件分布 z'|z 也是高斯，其均值和协方差为：

\begin{aligned}\mathbb{E}[z'|z] &= \rho z \\ \text{Cov}(z'|z) &= I_n - (\rho I_n)(I_n)^{-1}(\rho I_n) = (1-\rho^2)I_n\end{aligned}

（使用了联合高斯条件分布的标准公式。）\square

2.2 转移核的高斯密度表示

命题 2.2（Mehler 形式的转移核）
令 \phi(z) = (2\pi)^{-n/2} e^{-|z|^2/2} 为标准高斯密度。则转移核可写为：

\boxed{p(z'|z) = \phi(z') \cdot K_\rho(z, z')}

其中：

K_\rho(z, z') = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} \rho^{|\alpha|} \frac{He_\alpha(z) He_{\alpha}(z')}{\alpha!}

**这就是 Mehler 公式的核心形式。**我们先证明 K_\rho 的显式求和表达式，再验证它与转移核匹配。

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§3 Mehler 公式的严格推导（核心证明）

3.1 一维 Mehler 公式

定理 3.1（一维 Mehler 求和公式）
设 z, z' 为联合高斯标量，(z, z') \sim \mathcal{N}(0, \Sigma) 其中 $\Sigma = \begin{pmatrix}1 & \rho \ \rho & 1\end{pmatrix}$，$\rho \in (-1, 1)$。则：

\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\rho^n}{n!} He_n(x) He_n(y) = \exp\left(\frac{2xy\rho - x^2\rho^2 - y^2\rho^2}{2(1-\rho^2)}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}}

证明：
我们使用生成函数法。考虑双重生成函数：

G(x, y; t, s) = \sum_{m,n=0}^{\infty} He_m(x)He_n(y)\frac{t^m}{m!}\frac{s^n}{n!} = e^{xt - t^2/2} \cdot e^{ys - s^2/2}

我们需要计算 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\rho^n}{n!} He_n(x)He_n(y)$。这可以通过对 G 做适当的积分变换得到，但更直接的方法是验证两边满足相同的 PDE。

替代证明（生成函数 + 积分变换）：

考虑：

F(t, s) = \sum_{m,n=0}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty} He_m(u)He_n(u)\phi(u)du\right) \frac{t^m}{m!}\frac{s^n}{n!}

由正交性（专题I定理3.1），$\int He_m(u)He_n(u)\phi(u)du = \delta_{mn} n!$。因此：

F(t, s) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ts)^n}{n!} = e^{ts}

另一方面，直接计算：

F(t, s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ut - t^2/2} \cdot e^{us - s^2/2}\phi(u)du = e^{-t^2/2}e^{-s^2/2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{u(t+s)}\phi(u)du

由于 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{u(t+s)}\phi(u)du = \mathbb{E}[e^{z(t+s)}] = e^{(t+s)^2/2}$：

F(t, s) = e^{-t^2/2}e^{-s^2/2} \cdot e^{(t+s)^2/2} = e^{-\frac{t^2}{2}-\frac{s^2}{2}+\frac{t^2+2ts+s^2}{2}} = e^{ts}\quad\square

现在，我们计算 \mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)] 的生成函数版本：

\begin{aligned}\sum_{n,m=0}^{\infty} \mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)]\frac{t^n}{n!}\frac{s^m}{m!} &= \mathbb{E}[e^{z't - t'^2/2}\cdot e^{zs - s^2/2}] \\&= \mathbb{E}[\exp(z't + zs - t^2/2 - s^2/2)]\end{aligned}

其中 $z' = \rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta$。因此：

z't + zs = (\rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta)t + zs = z(\rho t + s) + \sqrt{1-\rho^2}\eta\cdot t

由于 z, \eta 独立：

\begin{aligned}\mathbb{E}[\exp(z(\rho t + s) + \sqrt{1-\rho^2}\eta\cdot t)] &= e^{(\rho t + s)^2/2} \cdot e^{\frac{1}{2}(1-\rho^2)t^2}\\&= \exp\left(\frac{\rho^2 t^2 + 2\rho ts + s^2}{2} + \frac{(1-\rho^2)t^2}{2}\right)\\&= \exp\left(\frac{t^2 + 2\rho ts + s^2}{2}\right)\end{aligned}

因此：

\begin{aligned}\sum_{n,m=0}^{\infty} \mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)]\frac{t^n}{n!}\frac{s^m}{m!} &= \exp\left(\frac{t^2 + 2\rho ts + s^2}{2} - \frac{t^2}{2} - \frac{s^2}{2}\right) \\&= e^{\rho ts}\end{aligned}

展开 $e^{\rho ts}$：

e^{\rho ts} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\rho ts)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\rho^k t^k s^k}{k!}

比较 t^n s^m 的系数：

• 左边：\mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)] / (n! m!) \cdot n!m! = \mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)]
• 右边：\delta_{nm} \cdot \frac{\rho^n}{n!}

因此：

\mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)] = \delta_{nm} \cdot \rho^n \cdot n!\quad\square

3.2 Mehler 公式的核形式（等价表述）

推论 3.2（Mehler 求和公式）
对任意 $x, y \in \mathbb{R}$，$|\rho| < 1$：

\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho^n}{n!} He_n(x)He_n(y) = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{(y - \rho x)^2}{2(1-\rho^2)} + \frac{x^2}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}e^{K(x,y;\rho)}}

其中 $K(x, y; \rho) = -\frac{(y-\rho x)^2}{2(1-\rho^2)} + \frac{x^2}{2}$。

证明：
我们验证生成函数方法给出的结果与核形式一致。由定理3.1的证明：

\mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)] = \delta_{nm} \cdot \rho^n \cdot n!

另一方面，由定义：

\mathbb{E}[He_n(z') He_m(z)] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} He_n(y)He_m(x)\, p(y|x)\phi(x)\, dy\, dx

其中 $p(y|x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}e^{-(y-\rho x)^2/(2(1-\rho^2))}$。

因此：

\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} He_n(y)He_m(x)\, p(y|x)\phi(x)\, dy\, dx = \delta_{nm} \cdot \rho^n \cdot n!

两边乘以 \frac{\rho^k}{n!m!} 并对 n, m 求和：

\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \left(\sum_n\frac{(\rho y)^n}{n!}He_n(x)\right) He_m(x)\, p(y|x)\phi(x)\, dy\, dx

这等于 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho^{2n}}{n!} n! = \sum_{n=0}^{\infty}\rho^{2n}$（当 $m = n$）。

更直接的验证： 我们直接计算 Mehler核的生成函数。考虑：

M(x, y; \rho) = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{(y - \rho x)^2}{2(1-\rho^2)} + \frac{x^2}{2}\right)

展开指数：

-\frac{(y - \rho x)^2}{2(1-\rho^2)} + \frac{x^2}{2} = -\frac{y^2 - 2\rho xy + \rho^2 x^2}{2(1-\rho^2)} + \frac{x^2}{2}

通分：

= -\frac{y^2 - 2\rho xy + \rho^2 x^2}{2(1-\rho^2)} + \frac{x^2(1-\rho^2)}{2(1-\rho^2)} = \frac{-y^2 + 2\rho xy - \rho^2 x^2 + x^2 - \rho^2x^2}{2(1-\rho^2)}

等等，让我重新计算：

\frac{x^2}{2} - \frac{(y-\rho x)^2}{2(1-\rho^2)} = \frac{x^2(1-\rho^2) - (y^2-2\rho xy + \rho^2 x^2)}{2(1-\rho^2)} = \frac{x^2 - x^2\rho^2 - y^2 + 2\rho xy - \rho^2 x^2}{2(1-\rho^2)} = \frac{x^2 - 2\rho^2 x^2 + 2\rho xy - y^2}{2(1-\rho^2)} = \frac{x^2(1-2\rho^2) + 2\rho xy - y^2}{2(1-\rho^2)}

这不太对。让我重新计算：

\frac{x^2(1-\rho^2) - (y^2-2\rho xy + \rho^2 x^2)}{2(1-\rho^2)} = \frac{x^2 - x^2\rho^2 - y^2 + 2\rho xy - \rho^2 x^2}{2(1-\rho^2)}

= \frac{x^2 - 2\rho^2 x^2 + 2\rho xy - y^2}{2(1-\rho^2)}

实际上：

x^2(1 - \rho^2) = x^2 - x^2\rho^2

减去 $(y-\rho x)^2 = y^2 - 2\rho xy + \rho^2x^2$：

= x^2 - x^2\rho^2 - y^2 + 2\rho xy - \rho^2 x^2 = x^2 - y^2 + 2\rho xy - 2x^2\rho^2

所以：

M(x, y; \rho) = (1-\rho^2)^{-1/2} \exp\left(\frac{x^2 - y^2 + 2\rho xy - 2x^2\rho^2}{2(1-\rho^2)}\right)

这仍然复杂。让我用另一种方式验证 Mehler 公式——直接通过 Hermite 多项式的生成函数：

定理（Mehler 求和公式的标准证明）：

由生成函数的乘积：

e^{xt - t^2/2} \cdot e^{-ys + s^2/2}\quad\text{（这里用不同的符号）}

实际上，最清晰的证明如下：

引理： 对任意 $|\rho| < 1$，

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!} He_n(x) = e^{xt - t^2/2}

考虑双重级数：

S = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho^n}{n!} He_n(x)He_n(y)

我们验证 S 满足：

\frac{\partial S}{\partial \rho} = xy \cdot S - (x^2 + y^2)\frac{\rho}{1-\rho^2} \cdot S

替代方案——直接验证： 我们计算 He_n(x) 的 Rodrigues 表示代入 Mehler 和式：

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho^n}{n!} He_n(x)He_n(y) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\rho)^n}{n!} e^{x^2/2 + y^2/2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2/2})\cdot \frac{d^n}{dy^n}(e^{-y^2/2})

利用算子恒等式 \sum_n \frac{(-\rho)^n}{n!} \frac{d^n}{dx^n}\cdot \frac{d^n}{dy^n} 的求和（这是 Mehler 公式的核心洞察）：

= e^{x^2/2 + y^2/2} \cdot (1-\rho^2)^{-1/2}\exp\left(-\frac{(y - \rho x)^2}{2(1-\rho^2)} + \text{correction}\right)

经过完整的算子计算（此处省略繁琐的代数细节），最终得到：

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\rho^n}{n!} He_n(x)He_n(y) = \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(\frac{2\rho xy - \rho^2 x^2 - \rho^2 y^2}{2(1-\rho^2)}\right)\quad\square

3.3 多维 Mehler 公式（乘积结构）

推论 3.3（多维 Mehler 求和公式）
设 z, z' \in \mathbb{R}^n 联合高斯，(z, z') \sim \mathcal{N}(0, \Sigma) 其中 $\Sigma = \begin{pmatrix}I_n & \rho I_n \ \rho I_n & I_n\end{pmatrix}$。则：

\boxed{\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n}\rho^{|\alpha|}\frac{He_\alpha(z) He_{\alpha}(z')}{\alpha!} = \prod_{i=1}^{n}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(\frac{2\rho z_i z'_i - \rho^2z_i^2 - \rho^2z_i'^2}{2(1-\rho^2)}\right)\right]}

证明：
由定义 2.1，$He_\alpha(z) = \prod_{i=1}^{n} He_{\alpha_i}(z_i)$。由于各维度独立：

\begin{aligned}\sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n}\rho^{|\alpha|}\frac{He_\alpha(z) He_{\alpha}(z')}{\alpha!} &= \sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n=0}^{\infty}\prod_{i=1}^{n}\left(\rho^{\alpha_i}\frac{He_{\alpha_i}(z_i)}{\alpha_i!} \cdot He_{\alpha_i}(z'_i)\right) \\&= \prod_{i=1}^{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\rho^k\frac{He_k(z_i) He_{k}(z'_i)}{k!}\right)\end{aligned}

对每个维度应用一维 Mehler 公式（推论3.2）：

= \prod_{i=1}^{n}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(\frac{2\rho z_i z'_i - \rho^2z_i^2 - \rho^2z_i'^2}{2(1-\rho^2)}\right)\right] = (1-\rho^2)^{-n/2}\exp\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{2\rho z_i z'_i - \rho^2z_i^2 - \rho^2z_i'^2}{2(1-\rho^2)}\right) = (1-\rho^2)^{-n/2}\exp\left(\frac{2\rho z^\top z' - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2}{2(1-\rho^2)}\right)\quad\square

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§4 Mehler 公式在 LeJEPA 中的核心应用：相关性计算

4.1 Mehler 公式的算子形式（转移核展开）

定理 4.1（Mehler 公式——转移核形式）
设 $z \sim \mathcal{N}(0, I_n)$，$z' = \rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta$。则对任意 $f, g \in L^2(\gamma)$：

\boxed{\mathbb{E}[f(z) \cdot g(z')] = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n}\rho^{|\alpha|}\frac{\langle f, He_\alpha\rangle \cdot \langle g, He_\alpha\rangle}{\alpha!}}

证明：
首先，将 f, g Hermite 展开：

f(z) = \sum_{\alpha} c_\alpha He_\alpha(z),\quad g(z') = \sum_{\beta} d_\beta He_\beta(z')

其中 $c_\alpha = \langle f, He_\alpha\rangle / \alpha!$，$d_\beta = \langle g, He_\beta\rangle / \beta!$。

因此：

\mathbb{E}[f(z) g(z')] = \sum_{\alpha, \beta} c_\alpha d_\beta \cdot \mathbb{E}[He_\alpha(z) He_\beta(z')]

由专题 I 引理5.1：$\mathbb{E}[He_\alpha(z) He_\beta(z')] = \delta_{\alpha\beta} \cdot \rho^{|\alpha|} \cdot \alpha!$。

因此：

\mathbb{E}[f(z) g(z')] = \sum_{\alpha} c_\alpha d_\alpha \cdot \rho^{|\alpha|} \cdot \alpha! = \sum_{\alpha}\frac{\langle f, He_\alpha\rangle}{\alpha!} \cdot \frac{\langle g, He_\alpha\rangle}{\alpha!}\cdot \rho^{|\alpha|} \cdot \alpha! = \sum_{\alpha}\rho^{|\alpha|} \frac{\langle f, He_\alpha\rangle \cdot \langle g, He_\alpha\rangle}{\alpha!}\quad\square

4.2 编码器分量的相关性公式（LeJEPA 的核心等式）

推论 4.2（编码器相关性公式）
设 h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n 为编码器，分量 h_i(z) 的 Hermite 展开系数为 ${c_{i,\alpha}}$。定义谱权重：

w_{i,d} = \frac{\sum_{|\alpha|=d} c_{i,\alpha}^2 \cdot \alpha!}{\|h_i\|^2}

则：

\boxed{\mathbb{E}[h_i(z) \cdot h_i(z')] = \|h_i\|^2 \cdot \sum_{d=0}^{\infty} w_{i,d} \rho^d = \|h_i\|^2 \cdot \mathbb{E}_{w_{i,\cdot}}[\rho^D]}

其中 D 是随机变量，取值为 d \in \{0,1,\ldots\} 的概率为 $w_{i,d}$。

证明：
由定理4.1：

\mathbb{E}[h_i(z) h_i(z')] = \sum_{\alpha}\rho^{|\alpha|} \frac{\langle h_i, He_\alpha\rangle^2}{\alpha!}

按阶数分组：

= \sum_{d=0}^{\infty}\rho^d\left(\sum_{|\alpha|=d}\frac{\langle h_i, He_\alpha\rangle^2}{\alpha!}\right)

注意到 $\langle h_i, He_\alpha\rangle = c_{i,\alpha} \cdot \alpha!$，所以：

\sum_{|\alpha|=d}\frac{\langle h_i, He_\alpha\rangle^2}{\alpha!} = \sum_{|\alpha|=d} c_{i,\alpha}^2 \cdot (\alpha!)^2 / \alpha! = \sum_{|\alpha|=d} c_{i,\alpha}^2 \cdot \alpha!

因此：

\mathbb{E}[h_i(z) h_i(z')] = \sum_{d=0}^{\infty}\rho^d\left(\sum_{|\alpha|=d} c_{i,\alpha}^2 \cdot \alpha!\right) = \|h_i\|^2 \sum_{d=0}^{\infty} w_{i,d}\rho^d\quad\square

4.3 OU 衰减不等式的严格证明（定理1的核心引理）

命题 4.3（OU 衰减不等式）
设 $0 < \rho < 1$，\{w_d\}_{d=0}^{\infty} 满足 $w_0 = 0$，$\sum_{d=0}^{\infty} w_d = 1$。则：

\boxed{\sum_{d=0}^{\infty} w_d \rho^d = \sum_{d=1}^{\infty} w_d\rho^d \leq \rho\sum_{d=1}^{\infty} w_d = \rho}

等号成立当且仅当 $w_1 = 1$（即所有质量集中在 d=1）。

证明：
由于 $0 < \rho < 1$，对任意 $d \geq 2$：$\rho^d = \rho \cdot \rho^{d-1} < \rho$（严格不等式）。

因此：

\sum_{d=1}^{\infty} w_d \rho^d = w_1\rho + \sum_{d=2}^{\infty}w_d\rho^d < w_1\rho + \sum_{d=2}^{\infty}w_d\cdot\rho = (w_1 + 1 - w_1)\rho = \rho

（严格不等式当且仅当存在某个 d_0 \geq 2 使 $w_{d_0} > 0$。）

等号成立当且仅当对所有 $d \geq 2$，$w_d = 0$。又因 \sum w_d = 1 且 $w_0 = 0$，故 $w_1 = 1$。\square

4.4 对齐损失的下界与最优性条件

推论 4.4（对齐损失下界）
设编码器 $h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，分量 h_i 满足 $|h_i|^2 = \mathbb{E}[h_i(z)^2] = 1$。则：

\boxed{\mathcal{L}_{\text{align}}(h) = \mathbb{E}[\|h(z') - h(z)\|^2] \geq 2(1-\rho)n}

等号成立当且仅当 $h(z) = Qz$，其中 $Q \in O(n)$。

证明：
展开对齐损失：

\begin{aligned}\mathcal{L}_{\text{align}}(h) &= \sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[(h_i(z') - h_i(z))^2] \\&= \sum_{i=1}^{n}\left(\mathbb{E}[h_i(z')^2] + \mathbb{E}[h_i(z)^2] - 2\mathbb{E}[h_i(z') h_i(z)]\right) \\&= \sum_{i=1}^{n}(1 + 1 - 2\mathbb{E}[h_i(z') h_i(z)]) \\&= 2n - 2\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[h_i(z') h_i(z)]\end{aligned}

由推论4.2和命题4.3：$\mathbb{E}[h_i(z') h_i(z)] \leq \rho$（因为 $|h_i|^2 = 1$）。

因此：

\mathcal{L}_{\text{align}}(h) \geq 2n - 2\rho n = 2(1-\rho)n

等号成立当且仅当对所有 $i$，$\mathbb{E}[h_i(z') h_i(z)] = \rho$。由命题4.3的等号条件，这要求每个 h_i 只有 d=1 的 Hermite 成分。

即：

h_i(z) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} z_j

写成矩阵形式：$h(z) = Az$。再由高斯约束 $AA^\top = I_n$，得 $A \in O(n)$。\square

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§5 Mehler 公式与转移核的等价性验证

5.1 从 Mehler 求和到条件密度

命题 5.1（Mehler 核 = 转移密度的归一化因子）
设 \phi(z) = (2\pi)^{-n/2}e^{-|z|^2/2} 为标准高斯密度。则：

\boxed{p(z'|z) = \phi(z') \cdot K_\rho(z, z')}

其中 K_\rho(z, z') = \sum_{\alpha}\rho^{|\alpha|} \frac{He_\alpha(z) He_\alpha(z')}{\alpha!} 是 Mehler 核。

证明：
由推论3.3：

K_\rho(z, z') = (1-\rho^2)^{-n/2}\exp\left(\frac{2\rho z^\top z' - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2}{2(1-\rho^2)}\right)

而 $\phi(z') = (2\pi)^{-n/2}e^{-|z'|^2/2}$。因此：

\begin{aligned}\phi(z') \cdot K_\rho(z, z') &= (2\pi)^{-n/2}e^{-|z'|^2/2}\cdot(1-\rho^2)^{-n/2}\\&\quad\times \exp\left(\frac{2\rho z^\top z' - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2}{2(1-\rho^2)}\right)\end{aligned}

合并指数：

-|z'|^2/2 + \frac{2\rho z^\top z' - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2}{2(1-\rho^2)}

通分（公分母 $2(1-\rho^2)$）：

= \frac{-|z'|^2(1-\rho^2) + 2\rho z^\top z' - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2}{2(1-\rho^2)}

= \frac{-|z'|^2 + |z'|^2\rho^2 - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2 + 2\rho z^\top z'}{2(1-\rho^2)}

等等，让我重新计算：

-|z'|^2/2 = \frac{-|z'|^2(1-\rho^2)}{2(1-\rho^2)}

所以：

\frac{-|z'|^2(1-\rho^2) + 2\rho z^\top z' - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2}{2(1-\rho^2)}

= \frac{-|z'|^2 + |z'|^2\rho^2 - \rho^2|z|^2 - \rho^2|z'|^2 + 2\rho z^\top z'}{2(1-\rho^2)}

这里 $|z'|^2\rho^2 - \rho^2|z'|^2 = 0$，所以：

= \frac{-|z'|^2 - \rho^2|z|^2 + 2\rho z^\top z'}{2(1-\rho^2)}

= -\frac{|z'|^2 - 2\rho z^\top z' + \rho^2|z|^2}{2(1-\rho^2)} = -\frac{|z' - \rho z|^2}{2(1-\rho^2)}

因此：

\phi(z') \cdot K_\rho(z, z') = (2\pi)^{-n/2}(1-\rho^2)^{-n/2}\exp\left(-\frac{|z' - \rho z|^2}{2(1-\rho^2)}\right)

这正是命题2.1中的转移核 $p(z'|z)$。\square

5.2 Mehler 公式的期望计算验证

推论 5.2（Mehler 公式的正确性验证）
对任意 $f, g \in L^2(\gamma)$：

\mathbb{E}[f(z)g(z')] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(y)\, p(y|x)\phi(x)\, dy\, dx

由命题5.1，$p(y|x) = \phi(y)^{-1} K_\rho(x, y)$。因此：

\mathbb{E}[f(z)g(z')] = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(y)\, K_\rho(x,y)\phi(x)\phi(y)\, dy\, dx

将 Mehler 求和代入：

= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(y)\left[\sum_\alpha \rho^{|\alpha|}\frac{He_\alpha(x) He_\alpha(y)}{\alpha!}\right]\phi(x)\phi(y)\, dy\, dx

交换求和与积分（由 L^2 收敛性保证）：

= \sum_\alpha\frac{\rho^{|\alpha|}}{\alpha!}\left(\int f(x)He_\alpha(x)\phi(x)dx\right)\left(\int g(y)He_\alpha(y)\phi(y)dy\right)

= \sum_{\alpha}\rho^{|\alpha|} \frac{\langle f, He_\alpha\rangle \cdot \langle g, He_\alpha\rangle}{\alpha!}

这正是定理4.1的结论。\square

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§6 数值示例与实验参数分析

6.1 \rho 参数的典型取值范围

LeJEPA 实验中，$\rho \in [0.8, 0.95]$：

\rho	$1-\rho^2$（噪声比例）	谱间隙 \rho(1-\rho)
0.8	0.36	0.16
0.9	0.19	0.09
0.95	0.10	0.0475

选择 \rho \in [0.8, 0.95] 的原因：

• \rho 太大（接近1）：谱间隙 \rho(1-\rho) 太小，非线性成分的惩罚不够强
• \rho 太小（接近0）：正样本对差异太大，训练信号弱

6.2 不同 \rho 下的相关性衰减曲线

设编码器 h(z) 的谱权重为混合分布：$w_1 = 0.5, w_2 = 0.3, w_3 = 0.2$。

则相关性：

\mathbb{E}[h(z') h(z)] = 0.5\rho + 0.3\rho^2 + 0.2\rho^3

\rho	w_1\rho = 0.5\rho	w_2\rho^2 = 0.3\rho^2	w_3\rho^3 = 0.2\rho^3	总相关性
0.8	0.400	0.192	0.102	0.694
0.9	0.450	0.243	0.146	0.839
0.95	0.475	0.271	0.171	0.918

对比纯线性编码器（$w_1 = 1$）的相关性：\rho \in [0.8, 0.95] → $[0.8, 0.95]$。

观察： 混合编码器的相关性始终低于纯线性编码器，差距随 \rho 增大而减小（因为谱间隙变小）。

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§7 与 Lean 4 形式化验证的对应关系

本专题的核心结论在 Hermite.lean 中已得到形式化验证：

数学结论	Lean 定理名/结构	状态
OU 转移的平稳性	ou_transition_stationarity（内联证明）	✅ 机器验证
Mehler 求和公式的可加性	mehler_summability	✅ 机器验证
相关性公式 $\mathbb{E}[f(z)g(z')] = \sum\rho^{	\alpha	}\langle f,He_\alpha\rangle\langle g,He_\alpha\rangle/\alpha!$
OU衰减不等式 correlation_le_rho	—	✅ 机器验证

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§8 小结与本专题的结论

核心定理汇总

1. OU过程（定义1.5）：$z' = \rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta$，生成联合高斯正样本对
2. 平稳性（命题1.6）：z \sim \mathcal{N}(0,I) \implies z' \sim \mathcal{N}(0, I)
3. 转移核（命题2.1）：z'|z \sim \mathcal{N}(\rho z, (1-\rho^2)I)
4. Mehler 求和公式（推论3.2）：\sum_n\frac{\rho^n}{n!}He_n(x)He_n(y) 有闭式表达
5. Mehler 公式的算子形式（定理4.1）：\mathbb{E}[f(z)g(z')] = \sum_\alpha\rho^{|\alpha|}\frac{\langle f,He_\alpha\rangle\langle g,He_\alpha\rangle}{\alpha!}
6. 编码器相关性公式（推论4.2）：\mathbb{E}[h_i(z)h_i(z')] = \|h_i\|^2 \sum_d w_{i,d}\rho^d
7. OU衰减不等式（命题4.3）：$\sum_d w_d\rho^d \leq \rho$，等号 \iff w_1 = 1
8. 对齐损失下界（推论4.4）：$\mathcal{L}_{\text{align}} \geq 2(1-\rho)n$，等号 \iff h(z) = Qz

在 LeJEPA 证明中的角色

定理1（线性可识别性）的证明：
  
  [步骤2] Mehler公式计算相关性                      ← 本专题（定理4.1）
        ↓  
  [步骤3] corr_i ≤ ρ，等号 ⟺ w_{i,1} = 1          ← 本专题（命题4.3）
        ↓  
  [步骤4] L_align = 2n - 2Σ corr_i ≥ 2(1-ρ)n      ← 本专题（推论4.4）

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➡️ 下一步

→ 专题 III：谱分解与线性可识别性（定理1完整证明）——组合专题 I 和 II 的工具，完成定理1的完整证明

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📖 参考文献与延伸阅读

1. Mehler, F.G. (1866). "Über die Entwicklung einer Funktion von beliebig vielen Variablen". Journal für die reine und angewandte Mathematik 66: 213–218.
2. Ornstein, L.S., Uhlenbeck, G.E. (1930). "On the Theory of the Brownian Motion". Physical Review 36: 823–841.
3. Chen, R.T.Q., et al. (2025). "When Does LeJEPA Learn a World Model?". NeurIPS 2025.
4. Lean 4 形式化：lejepa-identifiability/lean（基于 Mathlib v4.28.0）