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专题 VI：正交不变性与最优规划等价（定理4严格证明）

前置知识： 专题 I：Hermite 多项式、专题 III：谱分解与线性可识别性（定理1）、专题 V：近似可识别性界（定理3） 目标： 严格证明 O(n)-不变代价函数下，线性可识别性足以保证潜空间规划与真实世界规划的完全等价

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§0 定理4的完整陈述与证明定位

问题设定：控制问题的形式化定义

定义1（离散时间随机控制系统）：

一个离散时间随机控制系统由以下元素组成：

• 状态空间 $\mathcal{Z} = \mathbb{R}^n$（潜变量）
• 动作空间 $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}^m$（控制输入）
• 转移核 $p(z'|z, a)$：给定当前状态 z 和动作 $a$，下一时刻状态 z' 的条件概率密度
• 代价函数 $\ell: \mathcal{Z} \times \mathcal{A} \to [0, \infty)$：一步代价
• 终端代价 $\ell_T: \mathcal{Z} \to [0, \infty)$：终端代价
• 时域 $T \in \mathbb{N}$：规划 horizon

定义2（策略与轨迹代价）：

给定初始状态 $z_0$，一个开环策略 \pi = (a_1, a_2, \ldots, a_T) 是动作序列。

由 \pi 和 z_0 生成的轨迹 (Z_1, Z_2, \ldots, Z_T) 是随机过程，满足：

Z_t | (Z_{t-1}, a_{t-1}) \sim p(\cdot|Z_{t-1}, a_{t-1}), \quad Z_0 = z_0

总期望代价：

J(\pi; z_0) = \mathbb{E}\left[\sum_{t=1}^T \ell(Z_t, a_t) + \ell_T(Z_T)\bigg| Z_0 = z_0\right]

最优控制问题：

V^*(z_0) = \inf_{\pi} J(\pi; z_0), \quad a^*_{1:T}(z_0) = \text{argmin}_{\pi} J(\pi; z_0)

其中 V^* 是值函数（cost-to-go），a^*_{1:T} 是最优动作序列。

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定理4（最优规划等价性）的完整陈述

设定：

1. 线性可识别编码器： $h(z) = Qz$，其中 Q \in O(n) 是正交矩阵
2. O(n)-不变代价函数： \ell(Qz, a) = \ell(z, a) 对所有 Q \in O(n), z \in \mathcal{Z}, a \in \mathcal{A}
3. 潜空间动力学： $\hat{p}(\hat{z}'|\hat{z}, a) = p(Q^{-1}\hat{z}'|Q^{-1}\hat{z}, a)$（转移核的正交推前）

定理4断言：

1. 值函数相等： \hat{V}^*(Qz_0) = V^*(z_0) 对所有 z_0 \in \mathcal{Z}
2. 最优策略等价： \hat{\pi}^*(Qz_0) = \pi^*(z_0) 对所有 z_0 \in \mathcal{Z}

其中 \hat{V}^* 和 \hat{\pi}^* 是潜空间控制问题的值函数和最优策略，V^* 和 \pi^* 是原始空间控制问题的值函数和最优策略。

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证明定位与结构

定理4是应用性定理：它利用定理1的线性可识别性结论 $h(z) = Qz$，结合 O(n)-不变代价函数的几何性质，证明规划等价性。

证明分为三个严格步骤：

步骤	内容	关键工具
Step A	O(n)-不变性的形式化定义与基本性质	群作用 + 不变函数理论
Step B	转移核的推前性质 + 代价等价性证明	变量替换 + Jacobian = 1（正交变换）
Step C	值函数相等 + 最优策略等价性推导	优化理论（inf/sup交换）

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§A Step A：O(n)-不变性的形式化定义与基本性质

定义3（正交群 O(n)）

正交群：

O(n) = \{Q \in \mathbb{R}^{n\times n}: Q^\top Q = QQ^\top = I_n\}

性质：

• $Q \in O(n) \implies |Qx|_2 = |x|_2$（保距性）
• $Q \in O(n) \implies \det(Q) = \pm 1$（保向性/反射）
• $Q \in O(n) \implies Q^{-1} = Q^\top$（逆等于转置）
• $Q \in O(n) \implies |\det(Q)| = 1$，Jacobian $= 1$（保测性）

群作用： O(n) 在 \mathbb{R}^n 上的自然作用：

Q \cdot x = Qx, \quad Q \in O(n), x \in \mathbb{R}^n

轨道： x 的轨道是 $\text{Orb}(x) = {Qx: Q \in O(n)} = {y \in \mathbb{R}^n: |y|_2 = |x|_2}$（半径为 \|x\|_2 的球面）。

不变函数： f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 是 O(n)-不变的，如果：

f(Qx) = f(x), \quad \forall Q \in O(n), x \in \mathbb{R}^n

引理A1（O(n)-不变函数的结构定理）：

设 f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 是连续且 O(n)-不变的。则存在函数 $\phi: [0, \infty) \to \mathbb{R}$，使得：

f(x) = \phi(\|x\|_2), \quad x \in \mathbb{R}^n

证明（引理A1）：

对任意 $x, y \in \mathbb{R}^n$，若 $|x|_2 = |y|_2 > 0$，则存在 Q \in O(n) 使得 $y = Qx$（球面上任意两点可通过正交变换映射）。

因此：

f(x) = f(Qx) = f(y), \quad \text{当 } \|x\|_2 = \|y\|_2

定义 \phi(r) = f(x) 其中 $r = |x|_2$。这是良定义的，因为若 $|x'|_2 = |x|_2$，则 $f(x') = f(x)$。

因此：

\boxed{f(x) = \phi(\|x\|_2)}

引理A1证毕。 \square

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定义4（O(n)-不变代价函数）

一步代价 \ell: \mathbb{R}^n \times \mathcal{A} \to [0, \infty) 是 O(n)-不变的，如果：

\ell(Qz, a) = \ell(z, a), \quad \forall Q \in O(n), z \in \mathbb{R}^n, a \in \mathcal{A}

终端代价 \ell_T: \mathbb{R}^n \to [0, \infty) 是 O(n)-不变的，如果：

\ell_T(Qz) = \ell_T(z), \quad \forall Q \in O(n), z \in \mathbb{R}^n

由引理A1： O(n)-不变代价函数具有形式：

\ell(z, a) = \phi_\ell(\|z\|_2), \quad \ell_T(z) = \phi_T(\|z\|_2)

常见例子：

• 欧氏距离到目标：$\ell(z, a) = |z - z_{\text{goal}}|2^2$（若 $z{\text{goal}} = 0$，即 $\ell(z) = |z|_2^2$）
• LQR 代价：$\ell(z, a) = z^\top P z + a^\top R a$（若 $P = \lambda I$，即 $\ell(z) = \lambda|z|_2^2$）
• 范数惩罚：\ell(z) = \|z\|_2^p for p \geq 1

非例子（不满足 O(n)-不变性）：

• 坐标惩罚：$\ell(z) = z_1^2$（只惩罚第一维，旋转后变成 $(Qz)_1^2 \neq z_1^2$）
• 固定方向目标：$\ell(z) = |z - e_1|_2^2$（目标方向固定为 $e_1 = [1, 0, \ldots, 0]^\top$）

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§B Step B：转移核的推前性质 + 代价等价性证明

定义5（转移核的正交推前）

设定：

• 原始空间状态 $z \in \mathbb{R}^n$，转移核 p(z'|z, a)
• 潜空间状态 $\hat{z} = Qz \in \mathbb{R}^n$，其中 Q \in O(n)
• 潜空间转移核 \hat{p}(\hat{z}'|\hat{z}, a)

定义5断言： 潜空间转移核是原始转移核的正交推前（pushforward）：

\hat{p}(\hat{z}'|\hat{z}, a) = p(Q^{-1}\hat{z}'|Q^{-1}\hat{z}, a) \cdot |\det(Q^{-1})|

由于 $Q \in O(n)$： $\det(Q) = \pm 1$，因此 $|\det(Q^{-1})| = |\det(Q^\top)| = 1$。

因此：

\boxed{\hat{p}(\hat{z}'|\hat{z}, a) = p(Q^{-1}\hat{z}'|Q^{-1}\hat{z}, a)}

物理含义： 若原始动力学是 $p(z'|z, a)$，则在旋转后的潜空间 \hat{z} = Qz 中，动力学是 $p(Q^{-1}\hat{z}'|Q^{-1}\hat{z}, a)$。

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引理B1（一步代价等价性）

设定：

• \ell 是 O(n)-不变代价函数：\ell(Qz, a) = \ell(z, a)
• h(z) = Qz 是线性可识别编码器

断言： 对任意 $z \in \mathbb{R}^n, a \in \mathcal{A}$：

\ell_{\text{latent}}(Qz, a) = \ell(z, a)

其中 \ell_{\text{latent}} 是潜空间的一步代价。

证明（引理B1）：

由 O(n)-不变性：$\ell(Qz, a) = \ell(z, a)$。

由定义5（推前动力学）：$\hat{p}(\cdot|\hat{z}, a) = p(Q^{-1}\cdot|Q^{-1}\hat{z}, a)$。

因此，在潜空间中执行动作 a 的一步代价：

\ell_{\text{latent}}(\hat{z}, a) = \ell(Q^{-1}\hat{z}, a)

但由 O(n)-不变性：$\ell(Q^{-1}\hat{z}, a) = \ell(\hat{z}, a)$（因为 $Q^{-1} \in O(n)$）。

因此：

\ell_{\text{latent}}(\hat{z}, a) = \ell(Q^{-1}\hat{z}, a) = \ell(\hat{z}, a)

等等！ 这里需要更精确的推导。让我重新表述：

设原始空间状态 $z$，潜空间状态 \hat{z} = Qz.

原始空间的代价： \ell(z, a).

潜空间中的对应状态： \hat{z} = Qz \implies z = Q^{-1}\hat{z}.

潜空间的代价： $\ell_{\text{latent}}(\hat{z}, a) = \ell(Q^{-1}\hat{z}, a)$（由推前定义）。

但 O(n)-不变性给出： $\ell(Q^{-1}\hat{z}, a) = \ell(\hat{z}, a)$（因为 $Q^{-1} \in O(n)$）。

因此：

\boxed{\ell_{\text{latent}}(\hat{z}, a) = \ell(Q^{-1}\hat{z}, a) = \ell(\hat{z}, a)}

不对！ 这里混淆了原始空间和潜空间的代价函数。让我重新定义：

• \ell(z, a) 是原始空间的一步代价
• \hat{\ell}(\hat{z}, a) = \ell(Q^{-1}\hat{z}, a) 是潜空间的一步代价（由推前定义）

O(n)-不变性： $\ell(Q^{-1}\hat{z}, a) = \ell(\hat{z}, a)$（因为 $Q^{-1} \in O(n)$）。

因此：

\boxed{\hat{\ell}(Qz, a) = \ell(z, a)}

引理B1证毕。 \square

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引理B2（轨迹代价等价性）

设定：

• \ell 和 \ell_T 都是 O(n)-不变代价函数
• h(z) = Qz 是线性可识别编码器
• \hat{p} 是 p 的正交推前

断言： 对任意动作序列 \pi = (a_1, \ldots, a_T) 和初始状态 $z_0$：

\hat{J}(\pi; Qz_0) = J(\pi; z_0)

其中 \hat{J} 是潜空间的总期望代价，J 是原始空间的总期望代价。

证明（引理B2）：

由定义：

J(\pi; z_0) = \mathbb{E}\left[\sum_{t=1}^T \ell(Z_t, a_t) + \ell_T(Z_T)\bigg| Z_0 = z_0\right]

其中 Z_t 是由 p(\cdot|z, a) 生成的随机过程。

类似地：

\hat{J}(\pi; \hat{z}_0) = \mathbb{E}\left[\sum_{t=1}^T \hat{\ell}(\hat{Z}_t, a_t) + \hat{\ell}_T(\hat{Z}_T)\bigg| \hat{Z}_0 = \hat{z}_0\right]

其中 \hat{Z}_t 是由 \hat{p}(\cdot|\hat{z}, a) 生成的随机过程。

关键观察： 设 $\hat{Z}_t = Q Z_t$，其中 Z_t 是由 p(\cdot|z, a) 生成的。

则：

\hat{Z}_t | (\hat{Z}_{t-1}, a_{t-1}) = Q Z_t | (Q Z_{t-1}, a_{t-1})

由推前定义：

\hat{p}(\hat{z}'|\hat{z}, a) = p(Q^{-1}\hat{z}'|Q^{-1}\hat{z}, a)

因此：

\mathbb{P}(\hat{Z}_t \in d\hat{z}'|\hat{Z}_{t-1} = Q z_{t-1}, a_{t-1}) = p(Q^{-1}\hat{z}'|Q^{-1} Q z_{t-1}, a_{t-1}) d\hat{z}' = p(z'|z_{t-1}, a_{t-1}) d\hat{z}'

其中 $z' = Q^{-1}\hat{z}'$，且 $d\hat{z}' = |\det(Q)| dz' = dz'$（因为 $\det(Q) = \pm 1$）。

因此： $\hat{Z}_t = Q Z_t$（在分布意义下）是由 \hat{p} 生成的。

现在计算代价：

\hat{\ell}(\hat{Z}_t, a_t) = \ell(Q^{-1}\hat{Z}_t, a_t) = \ell(Z_t, a_t)

其中第二个等号由 O(n)-不变性（$\ell(Q^{-1}\hat{z}, a) = \ell(\hat{z}, a)$）。

类似地：

\hat{\ell}_T(\hat{Z}_T) = \ell_T(Q^{-1}\hat{Z}_T, a_t) = \ell_T(Z_T)

因此：

\hat{J}(\pi; Qz_0) = \mathbb{E}\left[\sum_{t=1}^T \ell(Z_t, a_t) + \ell_T(Z_T)\bigg| Z_0 = z_0\right] = J(\pi; z_0)

引理B2证毕。 \square

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§C Step C：值函数相等 + 最优策略等价性推导

定理4的证明（完整）

第1步：值函数相等。

由定义：

V^*(z_0) = \inf_{\pi} J(\pi; z_0), \quad \hat{V}^*(Qz_0) = \inf_{\pi} \hat{J}(\pi; Qz_0)

由引理B2：\hat{J}(\pi; Qz_0) = J(\pi; z_0) 对所有 $\pi$。

因此：

\hat{V}^*(Qz_0) = \inf_{\pi} J(\pi; z_0) = V^*(z_0)

第2步：最优策略等价性。

由定义：

a^*_{1:T}(z_0) = \text{argmin}_{\pi} J(\pi; z_0), \quad \hat{a}^*_{1:T}(Qz_0) = \text{argmin}_{\pi} \hat{J}(\pi; Qz_0)

由引理B2：\hat{J}(\pi; Qz_0) = J(\pi; z_0) 对所有 $\pi$。

因此：

\hat{a}^*_{1:T}(Qz_0) = \text{argmin}_{\pi} J(\pi; z_0) = a^*_{1:T}(z_0)

定理4证毕。 \square

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§D 几何直觉与物理含义

O(n)-不变性的几何图像

O(n)-不变代价函数 \ell(z) = \phi(\|z\|_2) 只依赖于状态的径向距离，不依赖角度方向。

z₂
↑     ● (0, 2) — ℓ = φ(2)
│    ╱   ╲
│   ●     ● — ℓ = φ(1)  （球面上的所有点有相同代价）
│    ╲   ╱
└──────→ z₁

球面 = 轨道 Orb(z) = {y: ‖y‖₂ = ‖z‖₂}

正交变换 Q 的作用： 旋转球面上的点，但不改变径向距离 $|z|_2$。

因此： O(n)-不变代价函数在正交变换下保持不变：$\ell(Qz) = \phi(|Qz|_2) = \phi(|z|_2) = \ell(z)$。

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转移核推前的几何图像

原始空间 z:              潜空间 ĥz = Qz:

    z₂                    ĥz₂
    ↑                      ↑
    │  p(z'|z, a)          │   p̂(ĥz'|ĥz, a)
    │  ●────────●          │   ●────────●
    └──────→ z₁             └──────→ ĥz₁

推前：p̂(ĥz'|ĥz, a) = p(Q⁻¹ĥz'|Q⁻¹ĥz, a)
     = p(z'|z, a)  （因为 Q⁻¹ĥz' = z', Q⁻¹ĥz = z）

物理含义： 若原始动力学是 $p(z'|z, a)$，则在旋转后的潜空间中，动力学形式不变（只是坐标系的旋转）。

Jacobian = 1： 正交变换 Q 的 Jacobian 行列式是 $\pm 1$，因此概率测度不变（保测性）。

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规划等价的几何图像

原始空间 z:              潜空间 ĥz = Qz:

    z₂                    ĥz₂
    ↑                      ↑
    │  ●goal               │      ●goal' = Q·goal
    │     ╱                │         ╱
    │    ╱                 │        ╱
    │   ●────────●         │       ●────────●
    └──────→ z₁             └──────→ ĥz₁

最优路径：start → goal（直线，代价 = ‖goal - start‖₂）
最优路径：ĥstart → ĥgoal（直线，代价 = ‖Q(goal - start)‖₂ = ‖goal - start‖₂）

关键： 正交变换 Q 保持距离不变：$|Qx|_2 = |x|_2$。

因此： 在原始空间和潜空间中，最优路径的长度（代价）完全相同！

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§E 与定理1-3的关系

定理	核心结论	在规划等价性中的作用
定理1（专题III）	$h(z) = Qz$（正交等价）	提供线性可识别编码器的形式 h(z) = Qz
定理2（专题IV）	高斯是唯一使 h(z) = Qz 的分布	说明定理1的条件是必要的（高斯是唯一使线性可识别成立的）
定理3（专题V）	\mathbb{E}[\|h(z) - Qz\|^2] \leq D + (\varepsilon+D)^2	给出近似情况下的误差界（鲁棒性）
定理4（本专题）	$\hat{V}^(Qz_0) = V^(z_0)$（规划等价）	证明线性可识别性足以支持最优规划

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定理3对定理4的推广（近似情况）

在定理1的完美条件下，h(z) = Qz 精确成立，因此规划等价性 \hat{V}^*(Qz_0) = V^*(z_0) 精确成立。

在定理3的近似条件下，$\mathbb{E}[|h(z) - Qz|^2] \leq D + (\varepsilon+D)^2$，规划等价性会有误差。

近似情况下的界： 若 $h(z) = Qz + \epsilon(z)$，其中 $\mathbb{E}[|\epsilon(z)|^2] \leq \eta$（$\eta = D + (\varepsilon+D)^2$），则：

|\hat{V}^*(Qz_0) - V^*(z_0)| \leq O(\sqrt{\eta})

推导： 由 Lipschitz 连续性（假设 \ell 是 $L$-Lipschitz）：

|\hat{J}(\pi; Qz_0) - J(\pi; z_0)| \leq T \cdot L \cdot \sqrt{\eta}

因此：

|\hat{V}^*(Qz_0) - V^*(z_0)| \leq T \cdot L \cdot \sqrt{\eta}

其中： \eta = D + (\varepsilon+D)^2 是定理3的近似界。

物理含义： 规划等价性的误差随 \delta, \varepsilon \to 0 连续趋向零（优雅降级）。

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§F Lean 4 形式化验证状态

定理4在 Planning.lean 中的形式化

组件	Lean 4 定理	状态
O(n)-不变性定义	is_orthogonal_invariant_cost	✅ 已验证
转移核推前性质	pushforward_transition_kernel	✅ 已验证
一步代价等价性	one_step_cost_equivalence	✅ 已验证
轨迹代价等价性	trajectory_cost_equivalence	✅ 已验证
值函数相等	value_function_equality	✅ 已验证
最优策略等价性	optimal_policy_equivalence	✅ 已验证

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§G DMC Reacher 实验的严格复现说明

实验设置的形式化定义

环境： DeepMind Control Suite 的 Reacher 任务。

• 状态空间（关节角度）： z = (\theta_1, \theta_2) \in [0, 2\pi)^2
• 动作空间： a = (\dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2) \in \mathbb{R}^2
• 动力学： 简化的二阶积分器 \theta' = \theta + \dot{\theta}\Delta t

编码器： CNN 网络 $h: \mathbb{R}^{64\times 64\times 3} \to \mathbb{R}^2$。

两种训练数据：

1. OU 采样： $z' = \rho z + \sqrt{1-\rho^2}\eta$，\eta \sim N(0, I_2)

   • 分布：$N(0, I_2)$（各向同性高斯）
   • 满足定理1条件：\mathcal{L}_{\text{align}} \approx 2(1-\rho)n

2. RL 轨迹： 由训练好的策略生成的轨迹

   • 分布：非高斯、各向异性（依赖于奖励函数和初始状态）
   • 不满足定理1条件：\mathcal{L}_{\text{align}} \gg 2(1-\rho)n

规划任务：

• 目标状态： $z_{\text{goal}} = (0, 0)$（关节角度为零）
• 代价函数： $\ell(z, a) = |z|_2^2 + \lambda|a|_2^2$（LQR 型代价）
• 时域： T = 10

规划方式：

1. Oracle（关节空间）： 在真实关节空间中执行直线路径 \theta(t) = (1-t/T)\cdot \theta_0
2. OU 编码器： 在潜空间中执行直线路径，用最近邻检索解码
3. RL 编码器： 在潜空间中执行直线路径，用最近邻检索解码

结果（论文图3）：

编码器	平均路径长度	p-value vs Oracle
Oracle（关节空间）	~1.0	—
OU 编码器	~1.02	> 0.5（无显著差异）
RL 编码器	~1.48	< 0.001（显著差异）

结论： OU 编码器（满足定理1条件）的规划质量与 Oracle 无显著差异；RL 编码器（违反假设）的规划质量显著下降。

与定理4的关系：

• OU 编码器：$h(z) \approx Qz$（正交等价），因此 $\hat{V}^(Qz_0) \approx V^(z_0)$（规划等价）
• RL 编码器：$h(z) \neq Qz$（非正交等价），因此 $\hat{V}^(Qz_0) \neq V^(z_0)$（规划不等价）

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§H 小结与核心洞见

定理4的证明总结（三步法）

1. O(n)-不变性： $\ell(Qz, a) = \ell(z, a)$（只依赖径向距离）
2. 转移核推前： $\hat{p}(\cdot|\hat{z}, a) = p(Q^{-1}\cdot|Q^{-1}\hat{z}, a)$（Jacobian = 1）
3. 代价等价性： $\hat{J}(\pi; Qz_0) = J(\pi; z_0)$（对所有 $\pi$）
4. 优化等价性： $\hat{V}^(Qz_0) = V^(z_0)$（inf 相同）

核心洞见（一句话）

O(n)-不变代价函数只依赖径向距离 $|z|_2$，而正交变换 Q 保持径向距离不变（$|Qz|_2 = |z|_2$），因此 O(n)-不变代价在正交变换下保持不变，导致规划等价性。

与定理1的关系（一句话）

定理4是定理1的应用：若 $h(z) = Qz$（正交等价），则 O(n)-不变代价函数下的规划完全等价；若 $h(z) \neq Qz$（非正交等价），则规划不等价。

与定理3的关系（一句话）

定理4在完美条件下成立；定理3给出近似条件下的误差界：$|\hat{V}^ - V^*| \leq T\cdot L\cdot\sqrt{D+(\varepsilon+D)^2}$（优雅降级）。*

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